2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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1、第1頁共21頁近世代數(shù)第二章群論答案近世代數(shù)第二章群論答案1.1.群的定義群的定義1.全體整數(shù)的集合對于普通減法來說是不是一個群?解:不是,因為普通減法不是適合結(jié)合律。例如??321312???????321110?????????321321?????2.舉一個有兩個元的群的例。解:令的乘法由下表給出G?ea??G首先,容易驗證,這個代數(shù)運算滿足結(jié)合律(1)????xyzxyzxyzG???????????因為,由于,若是元素在(1)

2、中出現(xiàn),那么(1)成立。eaaea??e(參考第一章,4,習(xí)題3。)若是不在(1)中出現(xiàn),那么有e??aaaeaa????aaaaea??而(1)仍成立。其次,有左單位元,就是;有左逆元,就是,有左逆元,Geeea就是。所以是一個群。aG讀者可以考慮一下,以上運算表是如何作出的。3.證明,我們也可以用條件Ⅰ,Ⅱ以及下面的條件,來做群IV?V?第3頁共21頁的假設(shè)矛盾。這樣,也是的階,易見。n1a?1aa??否則21==aaae?與的假設(shè)

3、矛盾。這樣,我們就有一對不同的階大于2的元2n和。a1a?設(shè)還有元,,,并且b的階大于2。那么的階也Gbba?1ba??1b?大于2,并且。我們也有。1bb??1ba??否則1111===ebbaaba????消去得,與假設(shè)矛盾。同樣可證。這樣,除和1b?1=ba?11=ba??a外,又有一對不同的階大于2的元和。1a?b1b?由于是有限群,而的階大于2的元總是成對出現(xiàn),所以里GGG這種元的個數(shù)一定是偶數(shù)。3.假定是一個階是偶數(shù)的有限群

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