最全圓錐曲線知識點(diǎn)總結(jié)

1、1高中數(shù)學(xué)橢圓的知識總結(jié)高中數(shù)學(xué)橢圓的知識總結(jié)1.1.橢圓的定義橢圓的定義：平面內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（），12FF12122PFPFaFF???這個(gè)動點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距.注意：注意：若，則動點(diǎn)P的軌跡為線段；若，1212PFPFFF??12FF1212PFPFFF??則動點(diǎn)P的軌跡無圖形.（1）橢圓橢圓：焦點(diǎn)在軸上時(shí)（）（參數(shù)方程，其中x12222??byax22

2、2abc????cossinxayb????為參數(shù)），焦點(diǎn)在軸上時(shí)＝1（）。?y2222bxay?0ab??2.2.橢圓的幾何性質(zhì)橢圓的幾何性質(zhì)：（1）橢圓橢圓（以（）為例）：①范圍：；②焦點(diǎn)：12222??byax0ab??axabyb??????兩個(gè)焦點(diǎn)；③對稱性：兩條對稱軸，一個(gè)對稱中心（00），四個(gè)頂點(diǎn)(0)c?00xy??，其中長軸長為2，短軸長為2；④離心率：，橢圓，(0)(0)ab??abcea??01e??越小，橢圓越圓

3、；越大，橢圓越扁。⑥ee（2）.點(diǎn)與點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系橢圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)在橢圓外；00()Pxy?2200221xyab??②點(diǎn)在橢圓上＝1；③點(diǎn)在橢圓內(nèi)00()Pxy?220220byax?00()Pxy?2200221xyab??3直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：（1）相交：直線與橢圓相交；（2）相切：直線與橢圓相切；0???0???（3）相離：直線與橢圓相離；0???如:直線y―kx―1=0與橢圓恒有公共點(diǎn)，則

4、m的取值范圍是_______；2215xym??4.4.焦點(diǎn)三角形焦點(diǎn)三角形（橢圓上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）5.5.弦長公式弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，ykxb??12xx則＝，若分別為A、B的縱坐標(biāo)，則＝，若AB2121kxx??12yyAB21211yyk??弦AB所在直線方程設(shè)為，則＝。xkyb??AB2121kyy??6.6.圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題：圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題：遇到中點(diǎn)弦問題

5、常用“韋達(dá)定理韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法點(diǎn)差法”求解。在橢圓中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=－；12222??byax00()Pxy0202yaxb如（如（1）如果橢圓弦被點(diǎn)A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是；221369xy??（2）已知直線y=－x1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在22221(0)xyabab????直線L：x－2y=0上，則此橢圓的離心率為_______；（3）試確定m的取值范圍，使得橢圓上有不同的

6、兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱；13422??yxmxy??4特別提醒特別提醒：因?yàn)槭侵本€與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對0??稱問題時(shí)，務(wù)必別忘了檢驗(yàn)！0??橢圓知識點(diǎn)的應(yīng)用橢圓知識點(diǎn)的應(yīng)用1.如何確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？任何橢圓都有一個(gè)對稱中心，兩條對稱軸。當(dāng)且僅當(dāng)橢圓的對稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是坐標(biāo)軸，橢圓的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式。此時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。確定一個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)條件：兩個(gè)定形條件；一個(gè)定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)，

7、由ba焦點(diǎn)坐標(biāo)的形式確定標(biāo)準(zhǔn)方程的類型。2.2.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)量的幾何意義cba橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中，三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無關(guān)，是由橢圓本身的形狀大小所確定的。cba分別表示橢圓的長半軸長、短半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：，，且。)0(??ba)0(??ca)(222cba??可借助右圖理解記憶：恰構(gòu)成一個(gè)直角三角形的三條邊，其中a是斜邊，b、c為兩條直角邊。cba3如何由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上

8、，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看，的分母的大小，哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸上。2x2y4方程是表示橢圓的條件均不為零）CBACByAx(22??方程可化為，即，所以只有A、B、C同號，CByAx??22122??CByCAx122??BCByACx且AB時(shí)，方程表示橢圓。當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上；當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在?BCAC?xBCAC?軸上。y5求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法：①待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定橢

9、圓方程的類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；cba②定義法：由已知條件判斷出動點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。6共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異3例1.橢圓上的點(diǎn)到直線l:的距離的最小值為___________221169xy??90xy???例2.橢圓的內(nèi)接矩形的面積的最大值為221169xy??題型題型7：直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷：直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷例1.當(dāng)為何值時(shí)

10、，直線與橢圓相交？相切？相離？myxm??221169xy??例2.若直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；)(1Rkkxy???1522??myxm題型題型8：弦長問題：弦長問題例1.求直線被橢圓所截得的弦長.24yx??224199xy??例2.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1F2，若過點(diǎn)P（0，2）及F1的直線交橢圓于2212xy??AB兩點(diǎn)，求⊿ABF2的面積；題型題型9：中點(diǎn)弦問題：中點(diǎn)弦問題例1.求以橢圓內(nèi)的點(diǎn)A（2，1）為中

11、點(diǎn)的弦所在的直線方程。22185xy??例2.中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為的橢圓截直線所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，1(050)F32yx??12求橢圓的方程例3.橢圓與直線相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)若221mxny??1xy??，OC的斜率為（O為原點(diǎn)），求橢圓的方程22AB?22鞏固訓(xùn)練鞏固訓(xùn)練1.如圖橢圓中心在原點(diǎn)F是左焦點(diǎn)直線與BF交于D且1ABo1=90BDB?則橢圓的離心率為2.設(shè)為橢圓的兩焦點(diǎn)，P在橢圓上，當(dāng)面積為1時(shí)，的值12

12、FF2214xy??12FPF?12PFPF?uuuruuur為3.橢圓的一條弦被平分那么這條弦所在的直線方程是221369xy????42A4.若為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)若則此橢12FF122112::1:2:3PFFPFFFPF????圓的離心率為5.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為2c，以O(shè)為圓心，為半徑的圓，22221(0)xyabab????a過點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率=2(0)ace雙曲線雙曲線基本知識點(diǎn)基本知

13、識點(diǎn)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在軸）x)00(12222????babyax標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)在軸）y)00(12222????babxay定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的差的絕對值是常數(shù)（小于）的點(diǎn)的軌跡1F2F12FF叫雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫焦距。??aMFMFM221????212FFa?定義范圍，xa?yR?，ya?xR?對稱軸軸，軸；實(shí)軸長為虛軸長為xy2a2b對稱中心原點(diǎn)(00)O焦點(diǎn)坐標(biāo)1(0)Fc?2(