《數(shù)學(xué)分析選論》習(xí)題解答 - welcome to math …

1、41《數(shù)學(xué)分析選論》習(xí)題解答第四章積分學(xué)１設(shè)R，僅在有限個點取值不同試用可積定義證明?f][bafg與R，且?g][ba??baxxgd)(?baxxfd)(證顯然，只要對與只有一點處取值不同的情形作出證明即可為敘述方便起gf見，不妨設(shè)，而當時)()(bfbg?)[bax?)()(xfxg?因R，故時，對一切，恒有?f][ba11||||00????????T當??ni1?其中2)(1???????niiiJxfxxfJba??d)(令

2、，則當時，有???????????|)()(|2min1bfbg??||||T2)()()()()()(1111????????????????????????????nnnniiininiiiiiniiixfgJxfxfxgJxg而上式最末第二項又為??????????????????..bTbfbgbxfgnnnnn2||||)()(0)()(所以，無論或，只要，便有bn??bn????||||T???????????22)(1ni

3、iiJxg這就證得R，且□?g][baxxfJxxgbaba????dd)()(２通過化為定積分求下列極限：（１）；（２）??????10222limnknknnnnnnnn)12()1(1lim?????解（１）由于43若落在的第個小區(qū)間中，則有?TkkkgkkgTikiifTiigxxxx????????????????2)()(由于R，因此在上有界，而與僅有，故?f][baf][bagf)()(???fg在上亦有界，設(shè)于是，只要，

4、便能g][ba??xMxg|)(|][baMT4||||??使這樣就可證得2||||2?????TMxkkg，?????????22)(Tiigx即R（注：如果原來的分割尚不能滿足的要求，那么只需?g][??TMT4||||??將此分割足夠加細，直到能滿足如上要求）□５設(shè)在上有界，，且有證明：若在f][ba??][baan?cann???limf上只有為其間斷點，則R][ba)21(??nan?f][ba證設(shè)為敘述方便起見，不妨設(shè)于是，