《數(shù)學(xué)分析選論》習(xí)題解答 - welcome to math …

1、41《數(shù)學(xué)分析選論》習(xí)題解答第四章積分學(xué)１設(shè)R，僅在有限個(gè)點(diǎn)取值不同試用可積定義證明?f][bafg與R，且?g][ba??baxxgd)(?baxxfd)(證顯然，只要對(duì)與只有一點(diǎn)處取值不同的情形作出證明即可為敘述方便起gf見(jiàn)，不妨設(shè)，而當(dāng)時(shí))()(bfbg?)[bax?)()(xfxg?因R，故時(shí)，對(duì)一切，恒有?f][ba11||||00????????T當(dāng)??ni1?其中2)(1???????niiiJxfxxfJba??d)(令

2、，則當(dāng)時(shí)，有???????????|)()(|2min1bfbg??||||T2)()()()()()(1111????????????????????????????nnnniiininiiiiiniiixfgJxfxfxgJxg而上式最末第二項(xiàng)又為??????????????????..bTbfbgbxfgnnnnn2||||)()(0)()(所以，無(wú)論或，只要，便有bn??bn????||||T???????????22)(1ni

3、iiJxg這就證得R，且□?g][baxxfJxxgbaba????dd)()(２通過(guò)化為定積分求下列極限：（１）；（２）??????10222limnknknnnnnnnn)12()1(1lim?????解（１）由于43若落在的第個(gè)小區(qū)間中，則有?TkkkgkkgTikiifTiigxxxx????????????????2)()(由于R，因此在上有界，而與僅有，故?f][baf][bagf)()(???fg在上亦有界，設(shè)于是，只要，

4、便能g][ba??xMxg|)(|][baMT4||||??使這樣就可證得2||||2?????TMxkkg，?????????22)(Tiigx即R（注：如果原來(lái)的分割尚不能滿(mǎn)足的要求，那么只需?g][??TMT4||||??將此分割足夠加細(xì)，直到能滿(mǎn)足如上要求）□５設(shè)在上有界，，且有證明：若在f][ba??][baan?cann???limf上只有為其間斷點(diǎn)，則R][ba)21(??nan?f][ba證設(shè)為敘述方便起見(jiàn)，不妨設(shè)于是，