泛函分析習題解答

1、1第一章第一章練習題練習題1記是閉區(qū)間是閉區(qū)間上連續(xù)函數全體構成的集合上連續(xù)函數全體構成的集合在上定義距離如下上定義距離如下:([])Cab[]ab([])Cab，()|()()|([])bafgfxgxdxfgCab??????（1）按是否完備是否完備([])Cab?（2）的完備化空間是什么的完備化空間是什么(([]))Cab?答：答：(1)不完備例如對于以及定義[][02]ab?12n??01():112.nnxxfxx??????

2、??則在本題所定義的距離的意義下是Cauchy列因為()([02])nfxC?101100()|()()|110().11nmnmnmfffxfxdxxdxxdxmnnm???????????????另一方面點列并不能在本題所定義的距離的意義下收斂到中的某個元.()nfx([02])C事實上在幾乎處處收斂的意義下我們有0[01)()()1[12].nxfxgxx???????因此根據Lebesgue有界收斂定理可以得到101100()|

3、()()|1|0|0.1nnnnfgfxgxdxxdxxdxn????????????但.()([02])gxC?(2)的完備化空間是.因為([])Cab1([])Lab(i)在距離的意義下是的稠密子集.事實上任意取定一個?([])Cab1([])Lab需要證明:對于任意的存在使得1()([])fxLab?0??()[]gxCab?.[]()|()()|abfgfxgxdx??????事實上首先根據積分的絕對連續(xù)性存在使得當只要就有0?

4、?[]Eab?mE??3(ii)是完備的空間.1(([]))Lab?2設是距離空間，是距離空間，是的子集，對任意的的子集，對任意的，記，記()X?AXxX?，()inf()yAxAxy????則（則（1）是的連續(xù)函數的連續(xù)函數.()xA?x（2）若是中的點列中的點列使是否為是否為CauchyCauchy列為什么為什么nxX()0nxA??nx證：證：(1)任意取定對于任意的根據三角不等式有12xxX?yX?.1122()()()xyxx

5、xy?????2211()()()xyxxxy?????對兩端關于取下確界可以得到y(tǒng)A?.1122inf()()inf()yAyAxyxxxy???????2211inf()()inf()yAyAxyxxxy???????即1122()()()xAxxxA?????.2211()()()xAxxxA?????由此可得.1212|()()|()xAxAxx?????由此容易證明是上的連續(xù)函數實際上還滿足Lipschitz常數()fx()x

6、A??X()xA?等于1的Lipschitz條件.(2)答:未必是Cauchy列.例如取其中的距離是Euclid距離.對于對X?R11A??于定義點列為12n?L1(1).nnxn???對于點列不難驗證nx1()0nxAn???但顯然不是Cauchy列.這里的原因就在于不是點到點之間的距離而是點到nx()xA?集合的距離當這個集合含有不止一個點時不再具有點點之間距離的性質.A()xA?3是中的Lebesgue可測集合試證試證按距離按距離