泛函分析習(xí)題1

1、線(xiàn)性與非線(xiàn)性泛函分析◇1習(xí)題習(xí)題11.(張燕石淼)設(shè)在全體實(shí)數(shù)上，定義兩個(gè)二元映射和(2)R2()()xyxy???，證明(1)不是度量空間；(2)是度量空間()dxyxy??()?R()dR2.(范彥勤孫文靜)設(shè)為度量空間，為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，且滿(mǎn)足X?():f???[0][0]，令，證明為度量空xyf???[0](0)=0()()()fxyfxfy???()(())dxyfxy??Xd()間3.(武亞靜張丹)設(shè)為度量空間，證明有Xd()

2、xyzwX??()()()()dxzdywdxydzw???4.(崔伶俐楊冰)設(shè)全體實(shí)數(shù)列組成的集合為，對(duì)于??123(.......)|12...niXxxxxxRi???及，定義證明為123(.......)nxxxxx?12(......)nyyyy???11()12kkkkkkxydxyxy???????Xd()度量空間5.設(shè)為和組成的維有序數(shù)組，例如，對(duì)()Xn01n(3)000001010011100101110111X?于

3、任意的，定義為和中取值不同的個(gè)數(shù)，例如在中，()xyXn?()dxyxy(3)X，證明為度量空間(110111)1d?(010010)0d?(010101)3d?(())Xnd6.(蘇艷丁亞男)設(shè)為度量空間，且證明是開(kāi)集當(dāng)且僅當(dāng)為開(kāi)球Xd()AX?A??AA的并7.(張振山趙揚(yáng)揚(yáng))設(shè)和是兩個(gè)度量空間那么映射是連續(xù)映射當(dāng)且Xd()Y?():fXY?僅當(dāng)?shù)娜我忾]子集的原象是中的閉集YF1()fF?X8.(王林何超)設(shè)與是度量空間的兩個(gè)Cau

4、chy列證明是收??nx??nyXd()??nnnadxy?斂列9.(李敬華孫良帥)設(shè)和是兩個(gè)度量空間，在上定義度量Xd()Y?()XY?，其中，為正數(shù)證112212121(()())[()][()]pppxyxydxxdyy???1122()()xyxyXY??1p?明是完備空間當(dāng)且僅當(dāng)和均是完備空間XY?Xd()Y?()10.(李秀峰錢(qián)慧敏)設(shè)是完備的度量空間，是中的一列稠密的開(kāi)子集，Xd()??11nGxG?X線(xiàn)性與非線(xiàn)性泛函分析

5、◇3，其中稱(chēng)為與的距離12()dFF?1212()inf()dFFdxyxFyF???1F2F23.設(shè)是度量空間中的兩個(gè)子集，其中是緊集，是閉集，若12FF()Xd1F2F則必存在12()0dFF?012xFF??24.設(shè)為完備的度量空間，映射滿(mǎn)足：且有()Xd:AXX?xyX??xy?()()dAxAydxy?若知有不動(dòng)點(diǎn)，那么此不動(dòng)點(diǎn)是惟一的A25.設(shè)是中的有界閉子集，且，映射滿(mǎn)足M()ndRxyM??xy?:AMM?，證明在中存在

6、惟一的不動(dòng)點(diǎn)()()dAxAydxy?AM26.證明有界數(shù)列空間是完備的度量空間(距離的定義：)l?()sup||iiidxyxy??27.證明在維歐氏空間中點(diǎn)列收斂等價(jià)于按坐標(biāo)收斂即如果nnR，其中，及，那么()()()12()iiiinxxxx??(12)in???(0)(0)(0)012()nxxxx??（等價(jià)0()ixxi???12()(0)201()||0()niijjjdxxxxi?????????????于()(0)0()