凸幾何泛函分析理論中的極值問(wèn)題.pdf

1、本學(xué)位論文的研究?jī)?nèi)容屬于凸幾何泛函分析理論和Orlicz Brunn-Minkowski理論范疇，致力于函數(shù)不等式和極值問(wèn)題的研究．這些都是凸幾何領(lǐng)域的熱點(diǎn)問(wèn)題，涉及Brascamp-Lieb不等式，Loomis-Whitney不等式，仿射凸殼，Gauss-John位置，迷向測(cè)度以及Orlicz Busemann-Petty不等式，Orlicz John橢球等問(wèn)題.
　　 本文第二章的主要內(nèi)容是推廣了Barthe的一個(gè)著名工作：

2、多維型的BrascampLieb不等式及其逆不等式．利用Cauchy-Binet公式，我們證明了一個(gè)關(guān)鍵引理，從而給出了正的雙John分解下的Brascamp- Lieb不等式及其逆．
　　 滿足John定理的條件其實(shí)是一種離散的迷向測(cè)度，那么作為它的自然推廣，我們定義了球面上的擴(kuò)展迷向測(cè)度，它是球面上的連續(xù)Borel測(cè)度，并且這個(gè)測(cè)度能用凸體的L-表面積來(lái)刻畫(huà).我們證明了關(guān)鍵的Ball-Barthe引理對(duì)正的擴(kuò)展迷向測(cè)度也是成

3、立的，因此，利用質(zhì)量傳輸理論，在本文第三章建立了正的擴(kuò)展迷向測(cè)度的Brascamp-Lieb不等式及其逆不等式，并給出了等號(hào)成立的條件．作為這個(gè)不等式的應(yīng)用，我們相應(yīng)地推廣了Lp子空間及其對(duì)偶的體積不等式．
　　 在本文第二、三章，我們還證明了κ維Loomis-Whitney不等式和正的擴(kuò)展迷向測(cè)度下的連續(xù)型Loomis-Whitney不等式，這些都是Loomis-Whitney不等式的實(shí)質(zhì)性推廣．
　　 運(yùn)用Voron

4、oi和Gruber發(fā)展起來(lái)的正定二次型的類似方法，我們刻畫(huà)了最小凸殼的的位置特征；同時(shí)，最大體積和最小體積位置與凸殼的關(guān)系，也給以了表征.
　　 利用不同的證明方法-John優(yōu)化定理，我們對(duì)ep-范數(shù)的相關(guān)Gauss-John位置進(jìn)行了表征，同時(shí)也得到了凸體處于這個(gè)極值位置時(shí)，與歐氏單位球的距離估計(jì).
　　 本文第六章從另外一個(gè)角度來(lái)看待迷向測(cè)度問(wèn)題－不再選用Rn中典范的歐氏標(biāo)量積，而是配以與中心對(duì)稱橢球相關(guān)的標(biāo)量積．我

5、們研究了由這個(gè)標(biāo)量積誘導(dǎo)出來(lái)的ε-迷向測(cè)度，并給出了特征刻畫(huà).
　　 第七章中，運(yùn)用影子系統(tǒng)，我們對(duì)Orlicz Brunn-Minkowski理論中重要的OrliczBusemann-Petty質(zhì)心不等式給出了一個(gè)新的證明，這個(gè)不等式是Lutwak， Yang和Zhang在2010年的最新文章[139]中得到的，它是Orlicz仿射等周不等式的一種．
　　 Lp John橢球，是由Lutwak, Yang和Zhang[