幾何空間中凸體的極值問(wèn)題的研究.pdf

1、凸幾何作為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個(gè)重要分支，它以凸體和星體為主要研究對(duì)象，以 Lp-Brunn-Minkowski理論作為凸體理論的核心.2010年, Lutwak, Yang和Zhang引入了Orlicz投影體和Orlicz質(zhì)心體到Brunn-Minkowski理論中進(jìn)行研究.自此，Orlicz-Brunn-Minkowski理論及其對(duì)偶理論逐漸形成并得到飛速發(fā)展，現(xiàn)已發(fā)展成國(guó)際上幾何分析領(lǐng)域的熱點(diǎn)研究方向.本文首先利用Lp-Brunn-Mi

2、nkowski理論的基本知識(shí)和方法對(duì)該理論中的某些基礎(chǔ)理論進(jìn)行了研究；其次運(yùn)用 Orlicz-Brunn-Minkowski理論將經(jīng)典 Brunn-Minkowski理論中的一些理論進(jìn)行推廣，并得到了相關(guān)的新穎的結(jié)果.最后，通過(guò)代數(shù)方法建立了幾何空間的廣義度量方程，并對(duì)其相關(guān)極值問(wèn)題進(jìn)行了研究.
　　本文的主要研究工作分為以下幾個(gè)方面：
　　(1)1996年, Lutwak提出Lp-曲率映象的概念，在隨后的研究中,凸體的i次

3、Lp—曲率映象的概念被提出，本章利用Brunn-Minkowski-Fiery理論，通過(guò)研究i次Lp-曲率映象的概念及其性質(zhì)，建立了幾個(gè)聯(lián)系i次Lp-曲率映象和均質(zhì)積分（或?qū)ε季|(zhì)積分）的不等式.
　　(2)自從Lutwak,Yang和Zhang引入了 Orlicz投影體和Orlicz質(zhì)心體之后，Orlicz-Brunn-Minkowski理論及其對(duì)偶理論逐漸形成并得到飛速發(fā)展，而本章就是將對(duì)偶Brunn-Minkowski理論中

4、對(duì)偶仿射均質(zhì)積分的概念推廣到對(duì)偶Orlicz-Brunn-Minkowski理論中，引進(jìn)了對(duì)偶 Orlicz混合仿射均質(zhì)積分的概念，建立了對(duì)偶Orlicz混合仿射均質(zhì)積分的 Orlicz-Minkowski不等式和Orlicz-Brunn-Minkowski不等式.
　　(3)度量方程作為著名的Cayley-Menger代數(shù)的推廣，經(jīng)過(guò)楊路和張景中基礎(chǔ)性的工作，使其成為距離幾何中最主要的研究對(duì)象之一.在此基礎(chǔ)之上，本章提出了球面型