期權(quán)定價中的蒙特卡洛模擬方法

1、期權(quán)定價中的蒙特卡洛模定價中的蒙特卡洛模擬方法方法期權(quán)作為最基礎(chǔ)的金融衍生產(chǎn)品之一，為其定價一直期權(quán)作為最基礎(chǔ)的金融衍生產(chǎn)品之一，為其定價一直是金融工程的重要研究領(lǐng)域，主要使用的定價方法有偏微是金融工程的重要研究領(lǐng)域，主要使用的定價方法有偏微分方程法、鞅方法和數(shù)值方法。而數(shù)值方法又包括了二叉分方程法、鞅方法和數(shù)值方法。而數(shù)值方法又包括了二叉樹方法、有限差分法和蒙特卡洛模擬方法。樹方法、有限差分法和蒙特卡洛模擬方法。蒙特卡洛方法的理論基礎(chǔ)

2、是概率論與數(shù)理統(tǒng)計，其實蒙特卡洛方法的理論基礎(chǔ)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計，其實質(zhì)是通過模擬標的資產(chǎn)價格路徑預測期權(quán)的平均回報并得質(zhì)是通過模擬標的資產(chǎn)價格路徑預測期權(quán)的平均回報并得到期權(quán)價格估計值。蒙特卡洛方法的最大優(yōu)勢是誤差收斂到期權(quán)價格估計值。蒙特卡洛方法的最大優(yōu)勢是誤差收斂率不依賴于問題的維數(shù)，從而非常適宜為高維期權(quán)定價。率不依賴于問題的維數(shù)，從而非常適宜為高維期權(quán)定價。1.預備預備知識◆兩個重要的定理：兩個重要的定理：柯爾莫哥洛夫柯爾莫哥

3、洛夫(Kolmogov)強大強大數(shù)定律和萊維一林德貝格數(shù)定律和萊維一林德貝格(LevyLindeberg)中心極限定理。中心極限定理。大數(shù)定律大數(shù)定律是概率論中用以說明大量隨機現(xiàn)象平均結(jié)果是概率論中用以說明大量隨機現(xiàn)象平均結(jié)果穩(wěn)定性的一系列極限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是隨穩(wěn)定性的一系列極限定律。在蒙特卡洛方法中用到的是隨機變量序列同分布的機變量序列同分布的Kolmogov強大數(shù)定律：強大數(shù)定律：設(shè)為獨立同分布的隨機變量序列，若為獨立

4、同分布的隨機變量序列，若12???則有則有[]12kEk???????11(lim)1nknkpn????????顯然，若顯然，若是由同一總體中得到的抽樣，那么由是由同一總體中得到的抽樣，那么由12n????此大數(shù)定律可知樣本均值此大數(shù)定律可知樣本均值當n很大時以概率很大時以概率1收斂于收斂于11nkkn???總體均值總體均值。?微分形式，先介紹隨機微積分中的最重要的伊藤公式。微分形式，先介紹隨機微積分中的最重要的伊藤公式。伊藤伊藤It

5、o公式：公式：設(shè)，是二元可微函數(shù)，若隨機是二元可微函數(shù)，若隨機()VVSt?V過程過程滿足如下的隨機微分方程滿足如下的隨機微分方程S()()dSStdtStdWS????則有則有22221(()())()2VVVVdVStSStSdtStSdWtSSS???????????????根據(jù)伊藤公式，當標的資產(chǎn)的運動規(guī)律服從假設(shè)條件根據(jù)伊藤公式，當標的資產(chǎn)的運動規(guī)律服從假設(shè)條件中的幾何布朗運動時，期權(quán)的價值中的幾何布朗運動時，期權(quán)的價值的微分

6、形式為的微分形式為()VVSt?22221()2VVVVdVSSdtSdWtSSS???????????????現(xiàn)在構(gòu)造無風險資產(chǎn)組合現(xiàn)在構(gòu)造無風險資產(chǎn)組合，即有，即有，VVSS?????drdt???經(jīng)整理后得到經(jīng)整理后得到2222102VVVSrSrVtSS???????????這個表達式就是表示期權(quán)價格變化的這個表達式就是表示期權(quán)價格變化的BlackScholes偏微分方程。它同時適合歐式看漲期權(quán)、歐式看跌期權(quán)、美微分方程。它同時

7、適合歐式看漲期權(quán)、歐式看跌期權(quán)、美式看漲期權(quán)和美式看跌期權(quán)，只是它們的終值條件和邊界式看漲期權(quán)和美式看跌期權(quán)，只是它們的終值條件和邊界條件不同，其價值也不相同。條件不同，其價值也不相同。歐式看漲期權(quán)的終邊值條件分別為歐式看漲期權(quán)的終邊值條件分別為，??()max0TVSTSK??00()SVSTSS??????????????????????通過求解帶有終邊值條件的偏微分方程，得出歐式看漲期通過求解帶有終邊值條件的偏微分方程，得出歐式看