o-3312概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1ppt

1、第一章 概率的公理,1.1 隨機(jī)事件與概率空間,一、集合,集合是一類(lèi)事物構(gòu)成的整體，構(gòu)成集合的事物稱(chēng)為集合的元素.,集合A的部分元素構(gòu)成的新的集合稱(chēng)為A的子集。,若考慮的所有集合都是集合S的子集，則稱(chēng)S為空間， 如：實(shí)數(shù)空間.,集合的表示：,,,{所有的正整數(shù)},例1 我們用 表示骰子的六個(gè)面中的第i個(gè)面，這些面用集合表示.此時(shí)n=6，因而S有 個(gè)子集，即,,二、集合運(yùn)算,由

2、此可得，,.,結(jié)合律,例5 如果,，則,由此可得,.,對(duì)偶原理： 在集合恒等式中將所有的并用交代替，交用并代替，集合S和 分別用 和S代替，則恒等式仍然成立.,三、隨機(jī)事件與樣本空間,通常將隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果記作一個(gè)集合S，這就是空間S或必然事件.一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)可以是 開(kāi)關(guān)是否關(guān)閉的簡(jiǎn)單過(guò)程， 某個(gè)路口單位時(shí)間里經(jīng)過(guò)的汽車(chē)時(shí)速達(dá)到30米/小時(shí)的量數(shù)， 直接測(cè)量的一些結(jié)果（如身高、體

3、重等）， 或者對(duì)測(cè)量結(jié)果的回答（如天然水源水質(zhì)的級(jí)別等）.,當(dāng)研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果時(shí)，總假定其結(jié)果可以明確辨認(rèn)，并經(jīng)常用數(shù)、點(diǎn)或其它的符號(hào)來(lái)標(biāo)識(shí).例如，有四個(gè)建筑公司在一項(xiàng)高速公路的建設(shè)中競(jìng)標(biāo)，我們就可以用a、b、c、d分別表示這四個(gè)公司，關(guān)心的是哪個(gè)公司競(jìng)標(biāo)成功，于是這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果空間就可記作S={a、b、c、d}，通常情況下用統(tǒng)計(jì)學(xué)術(shù)語(yǔ)稱(chēng)其為樣本空間，而將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果稱(chēng)為樣本點(diǎn)，如本例中的a、b、c、d.,再比如政府想要

4、設(shè)立兩個(gè)新的計(jì)算機(jī)研究中心，人們關(guān)心的是北京和上海每個(gè)地方建幾個(gè)這樣的中心，那么這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間就是 S={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(0,2)},一般來(lái)說(shuō)，樣本空間可根據(jù)其包含基本事件的數(shù)量進(jìn)行分類(lèi)，如上面兩例都有有限個(gè)基本事件，稱(chēng)為有限樣本空間；當(dāng)樣本空間中包含的元素是有限個(gè)或可列個(gè)時(shí)，稱(chēng)其為離散樣本空間；當(dāng)樣本空間中的元素充滿某條直線或線段或平面的一部分，這樣的樣本空間就被稱(chēng)為連續(xù)樣

5、本空間.,例8 農(nóng)具商店出售各種割草機(jī)，有的操作簡(jiǎn)單、有的操作起來(lái)不算復(fù)雜、有的卻很難操作；此外有的價(jià)格便宜、有的價(jià)格昂貴；在售后維護(hù)上有的維護(hù)費(fèi)很高、有的維護(hù)費(fèi)一般、有的維護(hù)費(fèi)用很低。試按照這三個(gè)層面寫(xiě)出對(duì)割草機(jī)觀測(cè)試驗(yàn)的樣本空間。,子集C={(1,0),(0,1)},表示_______;,若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果___出現(xiàn)，就說(shuō)事件C發(fā)生;,子集D={(0,0),(0,1),(0,2)}表示_______;,子集E={(0,0),(1,

6、1)}表示____________.,隨機(jī)事件C和E有沒(méi)有公共的基本事件？,4. 隨機(jī)事件A的補(bǔ)：記作,1. 稱(chēng)這種不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件或互不相容.,2. 隨機(jī)事件的交：記作 或 AB,3. 隨機(jī)事件的并：記作,事件A含于事件B，記作_______.表示 ______,例11 試在概率論的意義下解釋如下的事件關(guān)系.設(shè)A、B、C表示某一隨機(jī)試驗(yàn)的三個(gè)事件，則 事件A對(duì)B的差

7、:記作A-B或 .表示____,事件 表示______,事件 表示_______,事件 表示________,事件 表示______,事件A與事件B相等，記作 .表示____.,在概率論問(wèn)題中，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)由于目的不同，使得試驗(yàn)結(jié)果的解釋也不總是惟一的.下面我們以三個(gè)游戲者X、

8、Y與Z對(duì)擲骰子試驗(yàn)的不同解釋來(lái)說(shuō)明這種模糊性.,(1) X說(shuō)，這一試驗(yàn)的結(jié)果是骰子的六個(gè)面，構(gòu)成空間S = {f1, f2, f3, f4, f5, f6}.這個(gè)空間僅有 個(gè)子集,而事件“偶數(shù)點(diǎn)”由三個(gè)結(jié)果f2, f4, f6組成；,（2）Y只想在偶數(shù)點(diǎn)或奇數(shù)點(diǎn)上打賭，所以他認(rèn)為試驗(yàn)只有兩個(gè)結(jié)果：偶數(shù)點(diǎn)和奇數(shù)點(diǎn)，并構(gòu)成空間S ={偶數(shù)點(diǎn)，奇數(shù)點(diǎn)}。這個(gè)空間僅有 個(gè)子集，而事件“偶數(shù)點(diǎn)”是由

9、單個(gè)結(jié)果組成的；,(3)Z賭的是骰子將出現(xiàn)“1點(diǎn)”，并且骰子將停在桌子的左邊.因此他認(rèn)定這個(gè)試驗(yàn)有無(wú)窮多個(gè)結(jié)果，決定于骰子中心的坐標(biāo)和它的六個(gè)面.這時(shí)的事件“偶數(shù)點(diǎn)”不只是包含一個(gè)或三個(gè)結(jié)果，而是有無(wú)窮多個(gè).,可見(jiàn)空間（或樣本空間）S并不是惟一的,它是隨隨機(jī)試驗(yàn)的目的不同而改變的.,四、概率空間,例13 兩個(gè)事件A和B，如果他們由相同的元素組成，則稱(chēng)為相等的事件，顯然有P(A)=P(B)； 如果屬于事件A或B但不屬于

10、AB的所有結(jié)果組成的事件（如圖1-10）,練習(xí)：以概率的頻率定義為例，看看頻率定義下的概率是否滿足該公理.,,,的概率為零，則稱(chēng)事件A和B以概率1相等.,從上述定義可知，當(dāng)且僅當(dāng) P(A)=P(B)=P(AB)時(shí)，事件A和B以概率1相等. 如果P(A)=P(B)，我們就說(shuō)事件A和B是等概率的.這種情況下對(duì)于積事件AB的概率不能得出任何結(jié)論.也就是說(shuō)A和B既

11、可以互斥也可以相等.,如果事件A以概率1等于不可能事件，則P(A) = 0，但這不意味著 。,.,域：域F 是一個(gè)非空的集合類(lèi)，滿足：如果,，那么,（2）如果,和,，那么,例14 試證明：(1) 如果,和,，那么,(2) 必然事件和不可能事件必在域中，即,和,.,波雷爾(Borel)域 假定,是F 里的無(wú)窮序列，如果這些集合的并和交也屬于F ，則F 稱(chēng)為波雷爾域. 集合S的所有子集構(gòu)成一個(gè)波雷爾域.設(shè)

12、C是S的一個(gè)子集類(lèi)但不構(gòu)成域，那么加上S的其它一些子集（必要時(shí)可加上S的全部子集），我們可以構(gòu)造出一個(gè)以C為其子集的域，而且可以證明，存在一個(gè)包含C的全部元素的最小波雷爾域.,.,例15 設(shè)S由四個(gè)元素a,b,c,d組成，而C是由集合{a}，組成.將{a}和的補(bǔ)以及它們的并和交加上，我們可以得到包含{a}和的最小波雷爾域，它由下列集合組成：,對(duì)概率公理化定義的第III個(gè)條件做如下推廣： III 如果事件

13、,是彼此互斥的，則,可列可加性公理：IIIa 如果可列多個(gè)事件,彼此互斥，則,假定所有概率滿足公理I、II、III和IIIa.概率空間：F 是某一空間S的一些子集（事件）組成的波雷爾域，在F 上定義滿足概率公理I、II、III和IIIa的實(shí)值函數(shù)P(A)，其中A是F 的任意元素，稱(chēng)P(A)為事件A的概率，而稱(chēng)三元素(S,F , P)為概率空間.,作業(yè)： 1. 標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)第1節(jié)； 2. 預(yù)習(xí)下節(jié)內(nèi)容。,