[學(xué)習(xí)]分類變量資料的假設(shè)檢驗(yàn)

1、分類變量資料的假設(shè)檢驗(yàn),一、u檢驗(yàn) （一）樣本率與總體率比較 （二）兩樣本率比較,二、χ2檢驗(yàn) （一）四格表資料的χ2檢驗(yàn) （二）行×列（R×C）表資料的χ2檢驗(yàn) （三）配對(duì)計(jì)數(shù)資料的χ2檢驗(yàn) （四）行×列表的χ2分割 （五）四格表的確切概率法,一、u檢驗(yàn),（一）樣本率與總體率比較 樣本率與總體率的假設(shè)檢驗(yàn)的目的是推斷樣本率所代表的未知總體率π與已知總體率π0（一般指理論值、標(biāo)準(zhǔn)值或經(jīng)

2、大量觀察得到的穩(wěn)定值）是否相等，其u檢驗(yàn)公式為： 式中，p為樣本率，π0為已知總體率，為根據(jù)總體率求得的率的標(biāo)準(zhǔn)誤。,例5-6 由臨床經(jīng)驗(yàn)得知，一般潰瘍病患者的胃出血率為20%，現(xiàn)某醫(yī)師觀察65歲以上潰瘍病人250例，其中80例發(fā)生胃出血癥狀，問老年患者胃出血率與一般患者是否不同？,H0：?=?0 ，即老年患者胃出血率與一 般患者相同；H1：???0 ，即老年患

3、者胃出血率與一般患者不同；α=0.05,本例 ?0=20%，n=250，x=80將數(shù)據(jù)代入上式:,用絕對(duì)值查u界值表（t界值表中v =∞欄）： 4.743 >3.29 = u0.001/2 P < 0.001 按α=0.05，拒絕H0，接受H1，可認(rèn)為老年患者胃出血率與一般患者不同，老年潰瘍病患者更容易出現(xiàn)胃出血。,（二）兩樣本率比較 兩樣本率比較

4、的假設(shè)檢驗(yàn)的目的是推斷兩樣本所來自的兩總體的總體率是否相等。,其u檢驗(yàn)公式為：,例5-7 為比較工人和農(nóng)民的高血壓患病率，分別調(diào)查了50—59歲男性工人和50—59歲男性農(nóng)民1281人和387人，其高血壓患者分別為386人（患病率30.13%）和65人（患病率16.80%）。問工人與農(nóng)民的高血壓患病率有無不同？,H0：?1=?2，即工人和農(nóng)民高血壓患病 率相 同；H1：?1??2, 即工人和農(nóng)民高血壓患病

5、 率不同；α=0.05,本例 p1=30.13%，x1=386，n1=1281；p2=16.80%，x2=65，n2=387；,將有關(guān)數(shù)據(jù)代入u檢驗(yàn)公式查u界值表（雙側(cè)，t界值表中=∞欄）： 5.174 >3.29 = u0.001/2 P < 0.001 按α=0.05，拒絕H0，接受H1，可認(rèn)為50?59歲男性工人和 50?59歲男性農(nóng)民高血壓患病率

6、不同，工人患病率高于農(nóng)民。,二、χ2檢驗(yàn),χ2檢驗(yàn)的基本公式為： 式中A為實(shí)際頻數(shù)(actual frequency),T為理論頻數(shù)(theoretical frequency).,（一）四格表資料的χ2檢驗(yàn) 例5-8 為觀察藥物A、B治療某病的療效，某醫(yī)師將100例該病病人隨機(jī)分為兩組，一組40人，服用A藥；另一組60人，服用B藥。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：

7、服用A藥40人中有30人治愈；服用B藥的60人中有11人治愈。問A、B兩藥的療效有無差別？,χ2檢驗(yàn)的基本步驟如下： H0：?1=?2 ，即A、B兩藥療效相同； H1：?1??2 ，即A、B兩藥療效不同； α=0.05,計(jì)算理論頻數(shù)：理論頻數(shù)指的是在無效假設(shè)成立的前提下，理論上在實(shí)際頻數(shù)位置上的頻數(shù)。本例如無效假設(shè)成立，兩藥療效相同，則其合計(jì)的治愈率為41%。據(jù)此，A藥組理論治愈人數(shù)=40×41%=1

8、6.4，B藥組理論治愈人數(shù)=60×41%=24.6；同理，合計(jì)未愈率為59%，依此算得A藥組和B藥組未愈人數(shù)分別為23.6和35.4。各理論頻數(shù)計(jì)算見上表中括號(hào)內(nèi)的數(shù)字。理論頻數(shù)的計(jì)算過程可用下式表示：,上式中，R(row)表示行，C(column)表示列；表示第R行第C列的理論數(shù)；nR和nC分別代表第R行和第C列的合計(jì)數(shù)；N為總合計(jì)數(shù)。,例如：第一行第一列的理論數(shù) T12、T21、T22也可仿此算出。,

9、將表5-2中的理論數(shù)和實(shí)際數(shù)代入χ2檢驗(yàn)公式： χ2檢驗(yàn)自由度的計(jì)算公式為： v =(行數(shù)-1)（列數(shù)-1）=（R-1）（C-1)本例：(2-1)（2-1）=1,查附表4，χ2界值表： 31.86>7.88 χ2>χ2 0.005,1 P<0.005 P<0.005，按α=0.05，拒絕H0，接受H

10、1，可認(rèn)為兩藥療效不同，A藥療效優(yōu)于B藥。,對(duì)于四格表資料，可用四格表專用公式簡(jiǎn)化計(jì)算，省去求理論頻數(shù)的過程. 式中，a、b、c、d為四格表的四個(gè)實(shí)際頻數(shù)據(jù)，N為總合計(jì)數(shù),N=a+b+c+d。對(duì)四格表資料與χ2檢驗(yàn)公式完全等價(jià)。仍以上表資料為例：,將上表數(shù)據(jù)代入上式 計(jì)算結(jié)果與χ2檢驗(yàn)公式計(jì)算結(jié)果相同,四格表χ2檢驗(yàn)的條件： 1．最小的T≥5，N≥40，用普通χ2檢驗(yàn)； 2．有1≤

11、T<5，N≥40，用校正的χ2檢驗(yàn)； 3．有T<1或N<40，用確切概率法。,校正χ2檢驗(yàn)的計(jì)算公式：,例5-9 某醫(yī)師比較甲、乙兩藥療效，甲藥治療患者31例，有效23例；乙藥治療同一種病患者48例，有效46例。試問兩藥療效是否相同？,H0： ?1=?2 ，即甲、乙兩藥療效相同；H1： ?1??2 ，即甲、乙兩藥療效不同； α=0.05,由于，故四格表中有一格140，所以χ2值需校正。將上表數(shù)據(jù)代入

12、校正檢驗(yàn)公式v =(R-1)(C-1)=(2-1)(2-1)=1,查附表4，χ2界值表： 5.02 P > 0.01 按α=0.05，拒絕H0，接受H1，可認(rèn)為甲、乙兩藥療效不同，乙藥療效優(yōu)于甲藥。,（二）行×列（R×C）表資料的χ2檢驗(yàn),檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式,本例為三個(gè)率的比較，3×2=6，為六格表，屬于行×列表，可用行×列表χ2檢驗(yàn)。

13、 H0:?1=?2=?3,即三種方案有效率相同； H1:三種方案的有效率不同或不全同； α=0.05。,將上表數(shù)據(jù)代入行×列表卡方檢驗(yàn)公式 v =(R-1)(C-1)=(3-1)(2-1)=2,查附表態(tài)，χ2界值表： 22.80 > 10.60 χ2 > χ20.005,2 P &l

14、t; 0.005 P<0.005，按α=0.05，拒絕H0，接受H1，可認(rèn)為三種方案治療病毒性肝炎有效率不同或不全同。,本例并非多個(gè)率的比較，而是兩組資料構(gòu)成比的比較，2×4=8，為八格表，屬于行×列表，可用行×列表χ2檢驗(yàn)。 H0：兩民族居民ABO血型構(gòu)成相同； H1：兩民族居民ABO血型構(gòu)成不同； α=0.05,將上表數(shù)據(jù)代入行×列表卡方檢驗(yàn)公式

15、 v =(R-1)(C-1)=(2-1)(4-1)=3,查χ2界值表： 26.15 > 12.84 χ2 > χ20.005,3 P < 0.005 P<0.005，按α=0.05，拒絕H0，接受H1，可認(rèn)為兩民族居民ABO血型構(gòu)成不同，維吾爾族A、B型血者相對(duì)多些，回族O型者相對(duì)多些。,上表為同時(shí)按照兩個(gè)屬性進(jìn)行交叉分類

16、所形成的雙向有序表（A屬性分為有序的R類，B屬性分為有序的C類），稱之為R×C列聯(lián)表（contingency table）。因其仍屬于R×C表，故χ2值的計(jì)算與普通R×C表χ2值計(jì)算無異。 H0：年齡與冠狀動(dòng)脈粥樣硬化程度間 相互獨(dú)立（即兩者間無關(guān)聯(lián)）； H1：年齡與冠狀動(dòng)脈粥樣硬化程度間 有關(guān)聯(lián)； α=0.05,將上表數(shù)據(jù)代入行×列表卡方檢驗(yàn)公式

17、v =(R-1)(C-1)=(4-1)（4-1）=9,查χ2界值表： 71.43 > 23.59 χ2 > χ20.005,9 P < 0.005 P<0.005，按α=0.05，拒絕H0，接受H1，可認(rèn)為年齡與冠狀動(dòng)脈粥樣硬化程度間有關(guān)聯(lián)。,若需進(jìn)一步定量表達(dá)兩變量間關(guān)聯(lián)程度的大小，可選用列聯(lián)系數(shù)rp，其計(jì)算公式如下：,式中，χ2為

18、統(tǒng)計(jì)量，n為樣本含量。rp的取值在0∽1之間，0表示完全獨(dú)立，1表示完全關(guān)聯(lián)。本例列聯(lián)系數(shù)為： 表明年齡與冠狀動(dòng)脈粥樣硬化之間存在一定的關(guān)聯(lián)性。,行×列表χ2檢驗(yàn)注意事項(xiàng)：,1．χ2檢驗(yàn)要求理論頻數(shù)不宜太小，否則將導(dǎo)致分析的偏性。R×C表資料不宜有1/5以上格子的理論頻數(shù)小于，或有一個(gè)格子的理論頻數(shù)小于1。對(duì)理論頻數(shù)太小的資料，有幾種處理方法：,（1）增大樣本含量；（2）刪去理論頻數(shù)太小的行

19、與列；（3）將太小的理論頻數(shù)所在的行或列的實(shí)際頻數(shù)與性質(zhì)相近的鄰行鄰列的實(shí)際頻數(shù)進(jìn)行合并。三種方法中，后兩法可能會(huì)損失部分信息，也會(huì)損害樣本的隨機(jī)性。不同的合并方式有可能影響推斷結(jié)論，故不宜作為常規(guī)方法使用。,2．多個(gè)樣本率（或構(gòu)成比）比較的χ2檢驗(yàn)，結(jié)論為拒絕檢驗(yàn)假設(shè)，只能認(rèn)為至少兩個(gè)相差大的樣本率（或構(gòu)成比）所代表的總體率（或構(gòu)成比）之間有差別，還不能說明它們彼此之間都有差別。進(jìn)一步的分析可作χ2分割。,（三）配對(duì)計(jì)數(shù)資料的χ2檢

20、驗(yàn),1．兩種培養(yǎng)基培養(yǎng)結(jié)果之間有無聯(lián)系？,此時(shí)可將表5-8看成雙向有序列聯(lián)表，做關(guān)聯(lián)性分析。因此表只有四個(gè)格子，故用普通四格表χ2檢驗(yàn)來分析。 H0：兩種培養(yǎng)基培養(yǎng)結(jié)果相互獨(dú)立 （無 聯(lián)系）； H1：兩種培養(yǎng)基培養(yǎng)結(jié)果有關(guān)聯(lián) （有聯(lián)系）； α=0.05,將上表數(shù)據(jù)代入四格表卡方檢驗(yàn)公式 V =(R-1)(C-1)=(2-1)(2-1)=1,查χ2界值表：

21、 3.84 P > 0.025  P<0.05，按α=0.05，拒絕H0，接受H1，可認(rèn)為甲、乙兩種培養(yǎng)基培養(yǎng)結(jié)果有關(guān)聯(lián)（聯(lián)系）。,本例還可用φ（phi）系數(shù)進(jìn)一步定量表達(dá)兩變量關(guān)聯(lián)程度的大小，φ系數(shù)的計(jì)算公式如下： 式中，χ2為χ2統(tǒng)計(jì)量，n為樣本含量。φ的取值在-1與+1之間，其絕對(duì)值越大，關(guān)聯(lián)程度越高；而符號(hào)則表示

22、相互關(guān)聯(lián)的方向，符號(hào)的正負(fù)與ad-bc的符號(hào)一致。,本例： 由于12×15>16×2，故φ取正值，因此兩種培養(yǎng)基培養(yǎng)結(jié)果之間存在正關(guān)聯(lián)性，即甲培養(yǎng)基培養(yǎng)結(jié)果陽(yáng)性（或陰性），乙培養(yǎng)基培養(yǎng)結(jié)果也趨向于陽(yáng)性（或陰性）。,2．兩種培養(yǎng)基培養(yǎng)結(jié)果之間有無差別？,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式為： 分子中的1為連續(xù)性校正數(shù)，若b+c≥40是時(shí)，可省略。,H0：B=C,即兩種培養(yǎng)基培養(yǎng)結(jié)果

23、 陰性數(shù)相同； H1：B≠C，即兩種培養(yǎng)基培養(yǎng)結(jié) 果陰性數(shù)不同； α=0.05,將上表數(shù)據(jù)代入上式,查χ2界值表： 9.39 > 7.88 χ2 >χ20。005，1 P < 0.005 P<0.005，按α=0.05，拒絕H0，接受H1，兩培養(yǎng)基結(jié)果之間有差別，乙培養(yǎng)基陽(yáng)性數(shù)高于

24、甲培養(yǎng)基。,（四）行×列表的χ2分割,例5-14 對(duì)例5-10三種方案治療急性無黃疸型病毒性肝炎的有效率作進(jìn)一步的兩兩比較。 本例西藥組與中藥組兩組有效率差異最小，將它們分割出來，作χ2檢驗(yàn)得χ2=0.936，v =1，P>0.05，差別無統(tǒng)計(jì)意義，可將兩有效率合并，資料重組為新的四格表,再作χ2檢驗(yàn)得χ2=21.854，1，P<0.05。,χ2分割的原理是χ2值及其自由度的可加性。本例原總表χ2=22.

25、80，2；χ2分割法合計(jì)的χ2=22.79，v =2，兩者一致。若前后不一致，就說明分割方法可能有誤。,（五）四格表的確切概率法,本法的基本思想是：在四格表周邊合計(jì)不變的條件下，用下式直接計(jì)算表內(nèi)四個(gè)數(shù)據(jù)的各種組合出現(xiàn)的概率。 式中a、b、c、d為四個(gè)實(shí)際頻數(shù)，N為總樣本含量，！這階乘的符號(hào)。,例5-15 為了解兩種治療方法對(duì)原發(fā)性肝癌的療效，某醫(yī)師隨機(jī)把病人分成兩組，一組使用5

26、-氟尿嘧啶+輔助治療（簡(jiǎn)稱5-氟組），另一組使用安慰劑+輔助治療（簡(jiǎn)稱安慰組）。治療結(jié)果按緩解死亡劃分。第1組12人，5人緩解，7人死亡；第2組11人，1人緩解，10人死亡。試問兩組療效是否不同？,本例n<40，且四格表中有兩格1<T<5，宜用四格表的確切概率法。 H0： ?1=?2 ，即兩種療法療效相 同； H1： ?1??2 ，即兩種療法療效不

27、 同； α=0.05,將上表數(shù)據(jù)代入上式,上表中兩組緩解率差值的絕對(duì)值|P1-P2|=|0.4167-0.0909|=0.3258。在周邊合計(jì)數(shù)不變的條件下，表內(nèi)四個(gè)數(shù)據(jù)可能還有其它組合其緩解率差別≥0.3258，所有這些比樣本四格表更極端的情況都應(yīng)考慮進(jìn)去，因?yàn)檫@些極端情況在H0條件下都可能發(fā)生，其概率是支持H0的。,在周邊合計(jì)數(shù)不變的條件下，可得到多種不同組合的四格表。為方便起見，選定行合計(jì)與列合計(jì)均最小所對(duì)應(yīng)的

28、格子為基礎(chǔ)。本例以C格為基礎(chǔ)，其取值的變動(dòng)范圍從0到對(duì)應(yīng)的最小周邊合計(jì)數(shù)。本例C格可變范圍為0—6，可得到7個(gè)四格表及其相應(yīng)的概率見理下表。,上表顯示|p1-p2|≥0.3258的有序號(hào)為0，5，6的分表，這幾個(gè)分表與樣本四格表比，屬于更極端情況，加上樣本四格表，本例所求累計(jì)概率為：P=P(0)+P(1)+P(5)+P(6)=0.0092+0.0863 +0.0549+0.0046=0.155 P=0.155，按按α=