初中數(shù)學(xué)-巧添輔助線--解證幾何題

1、1巧添輔助線巧添輔助線解證幾何題解證幾何題[引出問題引出問題]在幾何證明或計(jì)算問題中，經(jīng)常需要添加必要的輔助線，它的目的可以歸納為以下三點(diǎn)：一是通過添加輔助線，使圖形的性質(zhì)由隱蔽得以顯現(xiàn)，從而利用有關(guān)性質(zhì)去解題；二是通過添加輔助線，使分散的條件得以集中，從而利用它們的相互關(guān)系解題；三是把新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決過的舊問題加以解決。值得注意的是輔助線的添加目的與已知條件和所求結(jié)論有關(guān)。下面我們分別舉例加以說明。[例題解析例題解析]一、倍角問題

2、倍角問題例1：如圖1，在△ABC中，AB=ACBD⊥AC于D。求證：∠DBC=∠BAC.12分析：∠DBC、∠BAC所在的兩個(gè)三角形有公共角∠C，可利用三角形內(nèi)角和來溝通∠DBC、∠BAC和∠C的關(guān)系。證法一：∵在△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠C=（180∠BAC）=90∠BAC。1212∵BD⊥AC于D∴∠BDC=90∴∠DBC=90∠C=90(90∠BAC)=∠BAC1212即∠DBC=∠BAC12分析二：∠DBC、∠BAC

3、分別在直角三角形和等腰三角形中，由所證的結(jié)論“∠DBC=∠BAC”中含有角的倍、半關(guān)系，因此，可以做∠A的平分線，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，把∠A放在直角三角形中求解；也可以把∠DBC沿BD翻折構(gòu)造2∠DBC求解。證法二：如圖2，作AE⊥BC于E，則∠EAC∠C=90∵AB=AC∴∠EAG=∠BAC12∵BD⊥AC于D∴∠DBC∠C=90∴∠EAC=∠DBC（同角的余角相等）即∠DBC=∠BAC。12證法三：如圖3，在AD上取一點(diǎn)E

4、，使DE=CD連接BE∵BD⊥AC∴BD是線段CE的垂直平分線∴BC=BE∴∠BEC=∠C∴∠EBC=2∠DBC=1802∠C∵AB=AC∴∠ABC=∠C∴∠BAC=1802∠C∴∠EBC=∠BAC∴∠DBC=∠BAC12說明：例1也可以取BC中點(diǎn)為E，連接DE，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半和等CABDECABDECABD3證法二：如圖，在AC上取一點(diǎn)H使CH=CE連接DH∵F是DE的中點(diǎn)∴CF是△EDH的中位線∴DH∥BC∴

5、∠ADH=∠B∠AHD=∠BCA∵AB=AC∴∠B=∠BCA∴∠ADH=∠AHD∴AD=AH∴ABAD=ACAH∴BD=HC∴BD=CE說明：本題信息特征是“線段中點(diǎn)”。也可以過E作EM∥BC交AB延長線于點(diǎn)G，仿照證法二求解。例4如圖，已知AB∥CD，AE平分∠BAD，且E是BC的中點(diǎn)求證：AD=ABCD證法一：延長AE交DC延長線于F∵AB∥CD∴∠BAE=∠F∠B=∠ECF∵E是BC的中點(diǎn)∴BE=CE在△ABE和△CEF中BAE=

6、FB=ECFBE=CE?????????∴△ABE≌△CEF∴AB=CF∵AE平分∠ABD∴∠BAE=∠DAE∴∠DAE=∠F∴AD=DF∵DF=DCCFCF=AB∴AD=ABDC證法二：取AD中點(diǎn)F，連接EF∵AB∥CD，E是BC的中點(diǎn)∴EF是梯形ABCD的中位線∴EF∥ABEF=（ABCD）12∴∠BAE=∠AEF∵AE平分∠BAD∴∠BAE=∠FAE∴∠AEF=∠FAE∴AF=EF∵AF=DF∴EF=AF=FD=AD12∴(ABC