同濟(jì)大學(xué)(高等數(shù)學(xué))-第四篇-無(wú)窮級(jí)數(shù)

1、1第四篇第四篇無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)第七章第七章無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)是高等數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，它以極限理論為基礎(chǔ)，是研究函數(shù)的性質(zhì)及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算方面的重要工具.本章首先討論常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，介紹無(wú)窮級(jí)數(shù)的一些基本概念和基本內(nèi)容，然后討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，著重討論如何為將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)和三角級(jí)數(shù)的問(wèn)題，最后介紹工程中常用的傅里葉級(jí)數(shù).第1節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)1.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念一般的，給定一個(gè)數(shù)列??321

2、nuuuu則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式???????nuuuu321叫做（常數(shù)項(xiàng)）無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)?簡(jiǎn)稱(chēng)（常數(shù)項(xiàng)）級(jí)數(shù)?記為?即???1nnu?3211???????????????nnnuuuuu其中第項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)一般項(xiàng)?nnu作級(jí)數(shù)的前項(xiàng)和???1nnunnniinuuuuus???????????3211稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和部分和?當(dāng)n依次取123…時(shí)，它們構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列???1nnu，，，…，11su?212suu??3123su

3、uu???，…12...nnsuuu????根據(jù)這個(gè)數(shù)列有沒(méi)有極限，我們引進(jìn)無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的概念。定義定義如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有極限?即?則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)???1nnunssssnn???lim???1nnu3發(fā)散?例2判別無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性?????1)11ln(nn解由于?nnnunln)1(ln)11ln(?????因此)1(ln)ln)1(ln()ln3ln4()ln2ln3()1ln2(ln???????????????nnn

4、sn而，故該級(jí)數(shù)發(fā)散.????nnSlim例3判別無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性?????1)1(1nnn解因?yàn)?11)1(1?????nnnnun所以)1(1431321211????????????nnsn?111)111()3121()211(??????????????nnn從而?1)111(limlim????????nsnnn所以這級(jí)數(shù)收斂?它的和是1?1.2收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)根據(jù)無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的概念，可以得到收斂級(jí)