已知平面直角坐標系xoy中,拋物線y=ax2-(a+1)x與直線y=kx的一個公共點為a(4,8).

1、已知平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2（a1）x與直線y=kx的一個公共點為A（4，8）（1）求此拋物線和直線的解析式；（2）若點P在線段OA上，過點P作y軸的平行線交（1）中拋物線于點Q，求線段PQ長度的最大值；（3）記（1）中拋物線的頂點為M，點N在此拋物線上，若四邊形AOMN恰好是梯形，求點N的坐標及梯形AOMN的面積考點：二次函數(shù)綜合題專題：綜合題；代數(shù)綜合題分析：（1）由待定系數(shù)法可得出k和a；（2）設點P的坐標為（t，

2、2t），則可得點Q的坐標，從而求出PQ，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題得出最大長度；（3）易求得點M的坐標，過點M作直線OA的平行線交拋物線于點N，則四邊形AOMN為梯形由平移的性質(zhì)可得出直線MN的解析式，再由點M在直線MN上，求得點N的坐標再用割補法和面積的求法得出答案解答：解：（1）由題意，可得8=16a4（a1）及8=4k，解得a=1，k=2，所以，拋物線的解析式為y=x22x，直線的解析式為y=2x（2分）（2）設點P的坐標為（t，2

3、t）（0≤t≤4），可得點Q的坐標為（t，t22t），則PQ=2t（t22t）=4tt2=（t2）24，所以，當t=2時，PQ的長度取得最大值為4（4分）（3）易知點M的坐標為（1，1）過點M作直線OA的平行線交拋物線于點N，如圖所示，四邊形AOMN為梯形直線MN可看成是由直線OA向下平移b個單位得到，所以直線MN的方程為y=2xb因為點M在直線y=2xb上，解得b=3，即直線MN的方程為y=2x3，將其代入y=x22x，可得2x3=x

4、22x即x24x3=0解得x1=1，x2=3易得y1=1，y2=3所以，直線MN與拋物線的交點N的坐標為（3，3）（5分）如圖，分別過點M、N作y軸的平行線交直線OA于點G、H，顯然四邊形MNHG是平行四邊形可得點G（1，2），H（3，6）S△OMG=12(10)MG=12[2(1)]=32S△ANH=12(43)NH=12(63)=32S□MNHG=（31）NH=23=6所以，梯形AOMN的面積S梯形AOMN=S△OMGS□MNHGS