資料數(shù)學(xué)分析考研試題集錦

1、數(shù)學(xué)分析考研試題集錦一.連續(xù)性問題1設(shè)f(x)是[ab]上的連續(xù)函數(shù)f(a)0求證:存在c?(ab)使f(c)=0且對(duì)任何有f(x)0(華東理工大學(xué)2004年)(]xcb?二.無(wú)窮級(jí)數(shù)與函數(shù)列1設(shè)在[01]上一致收斂于f(x)且每個(gè)有界，求證：()nfx()nfx(1)極限函數(shù)f(x)在[01]上有界；(2)函數(shù)列在[01]上一致有界(華東理工大學(xué)2004年)()nfx2.設(shè)fn(x)是定義在(??)上的可導(dǎo)函數(shù)列且存在常數(shù)M0對(duì)所有的

2、n和x?(??)有假設(shè)對(duì)任意x?(??)有則g(x)在(??)上連續(xù).|()|nfxM??lim()()nnfxgx???證明:對(duì)任意x0?(??)有|()()||()()||()()||()()|nnnngxgxfxgxfxfxfxgx???????0000對(duì)任意?0由于對(duì)任意x?(??)有所以存在正整數(shù)N當(dāng)nN時(shí)有l(wèi)im()()nnfxgx???|()()||()()|nnfxgxfxgx??????0033由微分中值定理|()()

3、||()|||||nnnfxfxfxxMxx???????000其中?在x與x0之間故取當(dāng)|xx0|?時(shí)有故當(dāng)|xx0|?M???3|()()|nnfxfx???03時(shí)即f(x)在x0連續(xù)由x0的任意性知f(x)在(??)上連續(xù).|()()|.gxgx???0三連續(xù)性１設(shè)Ｉ為一區(qū)間，f(x)在Ｉ上一致連續(xù)，若對(duì)任意x?If(x)?0試證：在Ｉ上一()fx致連續(xù)(華東理工大學(xué)200６年)四定積分１12121(1)xxxedxx????2設(shè)

4、有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明：()fxy()()()xyfff?????0000000()()[()()()].fxytxftxtyxyftxtyyftxtydt?????122111222012證明：設(shè)，則所以()()gtftxty?()()()gtxftxtyyftxty???12().g??00()()()()gtxftxtyxyftxtyyftxty?????2211122222222()()()()bbbaaabaxadxfxdxf

5、xdx??????????取得證.（南京理工大學(xué)）22()baM??3設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)證明:()fx02[]?22002lim()|sin|().nfxnxdxfxdx????????證明:由積分中值定理222101()()|sin|()|sin|inniinfxnxdxfxnxdx?????????2211212()()()|sin|([])inniiiiniifnxdxnn?????????????.22111()()|sin|()

6、niiiiftdttnxn?????????11422()()nniiiiffnn??????????故由定積分定義（南京理工大學(xué)）22002lim()|sin|().nfxnxdxfxdx????????4設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)且積分與都收斂證明()fx[)a??()afxdx???()afxdx????存在且為0.（南京理工大學(xué)）lim()xfx???證:由于收斂所以有()afxdx????lim()lim(()())AaAAfxdxfAf

7、a???????????()afxdx????故存在.lim()lim()AxfAfx???????若不妨設(shè)則存在當(dāng)時(shí)有即0lim()xfxk?????0k?0M?xM?2|()|.kfxk??從而不收斂矛盾因此02().kfx??()afxdx???0lim().xfx????５計(jì)算（東南大學(xué)2001）240sincos().sincosxxdxxx????６設(shè)在上二階連續(xù)可導(dǎo)，設(shè)()fx01[]010101[][]max|()|ma