高中數(shù)學專題抽象函數(shù)

1、高中數(shù)學專題抽象函數(shù)抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)。由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一.抽象性較強，靈活性大解抽象函數(shù)重要的一點要抓住函數(shù)中的某些性質(zhì)，通過局部性質(zhì)或圖象的局部特征，利用常規(guī)數(shù)學思想方法（如化歸法、數(shù)形結(jié)合法等），這樣就能突破“抽象”帶來的困難，做到胸有成竹.另外還要通過對題目的特征進行觀察、分析、類比和聯(lián)想，尋找具體的函數(shù)模型，再由具體函數(shù)模

2、型的圖象和性質(zhì)來指導我們解決抽象函數(shù)問題的方法。常見的特殊模型:特殊模型抽象函數(shù)正比例函數(shù)f(x)=kx(k≠0)f(xy)=f(x)f(y)冪函數(shù)f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)[或])y(f)x(f)yx(f?指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a0且a≠1)f(xy)=f(x)f(y)[)y(f)x(f)yx(f??或?qū)?shù)函數(shù)f(x)=logax(a0且a≠1)f(xy)=f(x)f(y)[)]y(f)x(f)yx(f??或正、余弦

3、函數(shù)f(x)=sinxf(x)=cosxf(xT)=f(x)正切函數(shù)f(x)=tanx)y(f)x(f1)y(f)x(f)yx(f????余切函數(shù)f(x)=cotx)y(f)x(f)y(f)x(f1)yx(f????目錄：一.定義域問題二、求值問題三、值域問題四、解析式問題五、單調(diào)性問題六、奇偶性問題七、周期性與對稱性問題八、綜合問題一.定義域問題多為簡單函數(shù)與復合函數(shù)的定義域互求。例1.若函數(shù)y=f（x）的定義域是[－2，2]，則函數(shù)

4、y=f（x1）f（x－1）的定義域為11???x。解：f(x)的定義域是，意思是凡被f作用的對象都在中。??22???22?評析：已知f(x)的定義域是A，求的定義域問題，相當于解內(nèi)函數(shù)的不等式????xf???x?問題。71)71(7)1(3)73(2)72()72(21)2720()71()71()2(21)]1([)1()24341()21()1()43()41()21()1(522????????????????????????

5、?bfbfbfbffffbfaaaaaaaffaaafafaf??同理則設可解得又、練習：1.f(x)的定義域為，對任意正實數(shù)xy都有f(xy)=f(x)f(y)且f(4)=2，則(0)??（）2.(2)f?12。2000的值是則且如果)2001(f)2000(f)5(f)6(f)3(f)4(f)1(f)2(f2)1(f)y(f)x(f)yx(f????????.(原式=16)2(1)(2)(1)fff??222(2)(4)(3)(6)

6、(4)(8)(3)(5)(7)fffffffff??????()2nfn?3、對任意整數(shù)函數(shù)滿足：，若，則yx)(xfy?1)()()(?????xyyfxfyxf1)1(?fC??)8(fA.1B.1C.19D.434、函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，對都有成立，若，則xR?(6)()(3)fxfxf???(1)2f?=（）（B）(2005)fA.2005B.2C.1D.05、定義在R上的函數(shù)Y=f(x)有反函數(shù)Y=f1(x)，又Y=f(

7、x)過點（2，1），Y=f(2x)的反函數(shù)為Y=f1(2x)，則Y=f1(16)為（）（A）A）B）C）8D）1618116的值求的值求均有對所有上的函數(shù)，滿足，是定義在為實數(shù)，且、已知)71()2()1()()()1()2(1)1(0)0(]10[)(106fayafxfayxfyxffxfaa?????????三、值域問題例4.設函數(shù)f(x)定義于實數(shù)集上，對于任意實數(shù)x、y，f(xy)=f(x)f(y)總成立，且存在使得，求函數(shù)f

8、(x)的值域。21xx?)()(21xfxf?解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。若f(0)=0，則f(x)=f(0x)=f(x)f(0)=0恒成立，這與存在實數(shù)，使得成立矛盾，故f(0)≠0，必有f(0)=1。21xx?)()(21xfxf?由于f(xy)=f(x)f(y)對任意實數(shù)x、y均成立，因此，又因為若0)2()(2????????xfxff(x)=0則f(0)=f(xx)=f(x)f(x)=0與f(0)≠0矛盾所