學(xué)習(xí)：協(xié)整理論以及協(xié)整檢驗

1、協(xié)整檢驗,協(xié)整與誤差修正模型,一、長期均衡與協(xié)整分析二、協(xié)整檢驗—EG檢驗三、協(xié)整檢驗—JJ檢驗四、誤差修正模型,一、長期均衡與協(xié)整分析Equilibrium and Cointegration,1、問題的提出,經(jīng)典回歸模型（classical regression model）是建立在平穩(wěn)數(shù)據(jù)變量基礎(chǔ)上的，對于非平穩(wěn)變量，不能使用經(jīng)典回歸模型，否則會出現(xiàn)虛假回歸等諸多問題。由于許多經(jīng)濟變量是非平穩(wěn)的，這就給經(jīng)典的回歸分析方法

2、帶來了很大限制。但是，如果變量之間有著長期的穩(wěn)定關(guān)系，即它們之間是協(xié)整的（cointegration)，則是可以使用經(jīng)典回歸模型方法建立回歸模型的。例如，中國居民人均消費水平與人均GDP變量的例子, 從經(jīng)濟理論上說，人均GDP決定著居民人均消費水平，它們之間有著長期的穩(wěn)定關(guān)系，即它們之間是協(xié)整的。,經(jīng)濟理論指出，某些經(jīng)濟變量間確實存在著長期均衡關(guān)系，這種均衡關(guān)系意味著經(jīng)濟系統(tǒng)不存在破壞均衡的內(nèi)在機制，如果變量在某時期受到干擾后偏離其

3、長期均衡點，則均衡機制將會在下一期進行調(diào)整以使其重新回到均衡狀態(tài)。 假設(shè)X與Y間的長期“均衡關(guān)系”由式描述,2、長期均衡,該均衡關(guān)系意味著:給定X的一個值，Y相應(yīng)的均衡值也隨之確定為??0+?1X。,在t-1期末，存在下述三種情形之一：Y等于它的均衡值：Yt-1= ?0+?1Xt ；Y小于它的均衡值：Yt-1 ?0+?1Xt ；,在時期t，假設(shè)X有一個變化量?Xt，如果變量X與Y在時期t與t-1末期仍滿足它們間的長期均衡關(guān)

4、系，即上述第一種情況，則Y的相應(yīng)變化量為:,vt=?t-?t-1,如果t-1期末，發(fā)生了上述第二種情況，即Y的值小于其均衡值，則t期末Y的變化往往會比第一種情形下Y的變化大一些；反之，如果t-1期末Y的值大于其均衡值，則t期末Y的變化往往會小于第一種情形下的?Yt ?？梢?，如果Yt=?0+?1Xt+?t正確地提示了X與Y間的長期穩(wěn)定的“均衡關(guān)系”，則意味著Y對其均衡點的偏離從本質(zhì)上說是“臨時性”的。一個重要的假設(shè)就是:隨機擾動項?

5、t必須是平穩(wěn)序列。如果?t有隨機性趨勢（上升或下降），則會導(dǎo)致Y對其均衡點的任何偏離都會被長期累積下來而不能被消除。,式Y(jié)t=?0+?1Xt+?t中的隨機擾動項也被稱為非均衡誤差（disequilibrium error），它是變量X與Y的一個線性組合：,如果X與Y間的長期均衡關(guān)系正確，該式表述的非均衡誤差應(yīng)是一平穩(wěn)時間序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。,非穩(wěn)定的時間序列，它們的線性組合也可能成為平穩(wěn)的。稱變量X與Y

6、是協(xié)整的（cointegrated）。,3、協(xié)整,如果序列{X1t,X2t,…,Xkt}都是d階單整，存在向量?=(?1,?2,…,?k)，使得Zt=?XT ~ I(d-b)， 其中，b>0，X=(X1t,X2t,…,Xkt)T，則認(rèn)為序列{X1t,X2t,…,Xkt}是(d,b)階協(xié)整，記為Xt~CI(d,b)，?為協(xié)整向量（cointegrated vector）。如果兩個變量都是單整變量，只有當(dāng)它們的單整階數(shù)相同時，才可

7、能協(xié)整；如果它們的單整階數(shù)不相同，就不可能協(xié)整。,3個以上的變量，如果具有不同的單整階數(shù)，有可能經(jīng)過線性組合構(gòu)成低階單整變量。,,,（d,d）階協(xié)整是一類非常重要的協(xié)整關(guān)系，它的經(jīng)濟意義在于：兩個變量，雖然它們具有各自的長期波動規(guī)律，但是如果它們是（d,d）階協(xié)整的，則它們之間存在著一個長期穩(wěn)定的比例關(guān)系。例如，中國CPC和GDPPC，它們各自都是2階單整，如果它們是(2,2)階協(xié)整，說明它們之間存在著一個長期穩(wěn)定的比例關(guān)系，從計量經(jīng)

8、濟學(xué)模型的意義上講，建立如下居民人均消費函數(shù)模型是合理的。,盡管兩個時間序列是非平穩(wěn)的，也可以用經(jīng)典的回歸分析方法建立回歸模型。,從這里，我們已經(jīng)初步認(rèn)識到：檢驗變量之間的協(xié)整關(guān)系，在建立計量經(jīng)濟學(xué)模型中是非常重要的。 而且，從變量之間是否具有協(xié)整關(guān)系出發(fā)選擇模型的變量，其數(shù)據(jù)基礎(chǔ)是牢固的，其統(tǒng)計性質(zhì)是優(yōu)良的。,二、協(xié)整檢驗—EG檢驗,1、兩變量的Engle-Granger檢驗,為了檢驗兩變量Yt,Xt是否為協(xié)整，Engle和G

9、ranger于1987年提出兩步檢驗法，也稱為EG檢驗。 第一步，用OLS方法估計方程 Yt=?0+?1Xt+?t并計算非均衡誤差，得到：,稱為協(xié)整回歸(cointegrating)或靜態(tài)回歸(static regression)。,非均衡誤差的單整性的檢驗方法仍然是DF檢驗或者ADF檢驗。需要注意是，這里的DF或ADF檢驗是針對協(xié)整回歸計算出的誤差項，而非真正的非均衡誤差。而OLS法采用了殘差最小平方和原理，因此估計量?

10、是向下偏倚的，這樣將導(dǎo)致拒絕零假設(shè)的機會比實際情形大。于是對et平穩(wěn)性檢驗的DF與ADF臨界值應(yīng)該比正常的DF與ADF臨界值還要小。,MacKinnon(1991)通過模擬試驗給出了協(xié)整檢驗的臨界值。,例 檢驗中國居民人均消費水平CPC與人均國內(nèi)生產(chǎn)總值GDPPC的協(xié)整關(guān)系。,已知CPC與GDPPC都是I(2)序列，已知它們的回歸式,R2=0.9981,對該式計算的殘差序列作ADF檢驗，適當(dāng)檢驗?zāi)Ｐ蜑椋?（-4.47） (3

11、.93) (3.05) LM(1)=0.00 LM(2)=0.00,t=-4.47<-3.75=ADF0.05，拒絕存在單位根的假設(shè)，殘差項是平穩(wěn)的。因此中國居民人均消費水平與人均GDP是(2,2)階協(xié)整的，說明了該兩變量間存在長期穩(wěn)定的“均衡”關(guān)系。,2、多變量協(xié)整關(guān)系的檢驗—擴展的E-G檢驗,多變量協(xié)整關(guān)系的檢驗要比雙變量復(fù)雜一些，主要在于協(xié)整變量

12、間可能存在多種穩(wěn)定的線性組合。 假設(shè)有4個I(1)變量Z、X、Y、W，它們有如下的長期均衡關(guān)系：,非均衡誤差項?t應(yīng)是I(0)序列：,然而，如果Z與W，X與Y間分別存在長期均衡關(guān)系：,則非均衡誤差項v1t、v2t一定是穩(wěn)定序列I(0)。于是它們的任意線性組合也是穩(wěn)定的。例如,由于vt象?t一樣，也是Z、X、Y、W四個變量的線性組合，由此vt 式也成為該四變量的另一穩(wěn)定線性組合。 （1, -?0,-?1,-?2,-?3）是對應(yīng)于

13、?t 式的協(xié)整向量，（1,-?0-?0,-?1,1,-?1）是對應(yīng)于vt式的協(xié)整向量。,一定是I(0)序列。,檢驗程序：對于多變量的協(xié)整檢驗過程，基本與雙變量情形相同，即需檢驗變量是否具有同階單整性，以及是否存在穩(wěn)定的線性組合。在檢驗是否存在穩(wěn)定的線性組合時，需通過設(shè)置一個變量為被解釋變量，其他變量為解釋變量，進行OLS估計并檢驗殘差序列是否平穩(wěn)。如果不平穩(wěn)，則需更換被解釋變量，進行同樣的OLS估計及相應(yīng)的殘差項檢驗。當(dāng)所有的變

14、量都被作為被解釋變量檢驗之后，仍不能得到平穩(wěn)的殘差項序列，則認(rèn)為這些變量間不存在（d,d）階協(xié)整。,檢驗殘差項是否平穩(wěn)的DF與ADF檢驗臨界值要比通常的DF與ADF檢驗臨界值小，而且該臨界值還受到所檢驗的變量個數(shù)的影響。,MacKinnon(1991)通過模擬試驗得到的不同變量協(xié)整檢驗的臨界值。,三、協(xié)整檢驗—JJ檢驗,⒈ JJ檢驗的原理,Johansen于1988年，以及與Juselius一起于1990年提出了一種用向量自回歸模型進行

15、檢驗的方法，通常稱為Johansen檢驗，或JJ檢驗，是一種進行多重I(1)序列協(xié)整檢驗的較好方法。,沒有移動平均項的向量自回歸模型表示為：,,,,,,差分Yt為M個I(1)過程構(gòu)成的向量,I(0)過程,I(0)過程,只有產(chǎn)生協(xié)整，才能保證新生誤差是平穩(wěn)過程,將y的協(xié)整問題轉(zhuǎn)變?yōu)橛懻摼仃嚘暗男再|(zhì)問題,,,于是，將yt中的協(xié)整檢驗變成對矩陣Π的分析問題。這就是JJ檢驗的基本原理。,兩種檢驗方法：特征值軌跡檢驗最大特征值檢驗☆,⒉ J

16、J檢驗的預(yù)備工作,第一步：用OLS分別估計下式中的每一個方程，計算殘差，得到殘差矩陣S0，為一個(M×T)階矩陣。,,,第一步：用OLS分別估計下式中的每一個方程，計算殘差，得到殘差矩陣S1，也為一個(M×T)階矩陣。,,,,第三步：構(gòu)造上述殘差矩陣的積矩陣：,,,,,第四步：計算有序特征值和特征向量。,第五步：設(shè)定似然函數(shù)。,⒊ JJ檢驗之一—特征值軌跡檢驗,服從Johansen分布。被稱為特征值軌跡統(tǒng)計量。,,…

17、，一直檢驗下去，直到出現(xiàn)第一個不顯著的η(M－r)為止，說明存在r個協(xié)整向量。這r個協(xié)整向量就是對應(yīng)于最大的r個特征值的經(jīng)過正規(guī)化的特征向量。,⒋ JJ檢驗之一—最大特征值檢驗,該統(tǒng)計量被稱為最大特征值統(tǒng)計量。于是該檢驗被稱為最大特征值檢驗。,,由 Johansen和Juselius于1990年計算得到 Johansen分布臨界值表。,⒌JJ檢驗實例,GDP、CONSR、CONSP、INV取對數(shù)后為I(1)序列。即lnGDP、lnCON

18、SR、lnCONSP、lnINV。對它們之間的協(xié)整關(guān)系進行檢驗。,兩種方法的結(jié)論是一致的。,如何處理高階單整序列？,從理論上講。JJ 檢驗只適用于多個1階單整序列。多個同階高階單整序列，差分為1階后再檢驗，顯然是可行的。但是意義發(fā)生變化。沒有看到關(guān)于高階多重協(xié)整檢驗的文獻，難度太大。能否先檢驗，然后建立均衡方程，通過對誤差項的單位根檢驗以判斷發(fā)生何種協(xié)整？未見經(jīng)典。,如何選擇截距和時間趨勢項？,分別考慮CE和VAR中是否有截距和

19、時間趨勢項作為假設(shè)顯著性檢驗重新檢驗對協(xié)整關(guān)系檢驗結(jié)果無顯著影響（檢驗統(tǒng)計量發(fā)生變化，但臨界值同時發(fā)生變化）,如何在多個協(xié)整關(guān)系中作出選擇？,一般選擇對應(yīng)于最大特征值的第1個協(xié)整關(guān)系從應(yīng)用的目的出發(fā)選擇,四、誤差修正模型Error Correction Model, ECM,1、一般差分模型的問題,對于非穩(wěn)定時間序列，可通過差分的方法將其化為穩(wěn)定序列，然后才可建立經(jīng)典的回歸分析模型。,模型只表達了X與Y間的短期關(guān)系，而沒有揭

20、示它們間的長期關(guān)系。關(guān)于變量水平值的重要信息將被忽略。,誤差項?t不存在序列相關(guān)， ?t是一個一階移動平均時間序列，因而是序列相關(guān)的。,2、誤差修正模型,是一種具有特定形式的計量經(jīng)濟學(xué)模型，它的主要形式是由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，稱為DHSY模型。,,,由于現(xiàn)實經(jīng)濟中很少處在均衡點上，假設(shè)具有（1, 1）階分布滯后形式,Y的變化決定于X的變化以及前一時期的非均衡程度。一階誤差修正模型(fi

21、rst-order error correction model)的形式：,若(t-1)時刻Y大于其長期均衡解?0+?1X，ecm為正，則(-?ecm)為負(fù)，使得?Yt減少；若(t-1)時刻Y小于其長期均衡解?0+?1X ，ecm為負(fù)，則(-?ecm)為正，使得?Yt增大。體現(xiàn)了長期非均衡誤差對短期變化的控制。,復(fù)雜的ECM形式，例如：,,,誤差修正模型的優(yōu)點：如： a）一階差分項的使用消除了變量可能存在的趨勢因素，從而

22、避免了虛假回歸問題； b）一階差分項的使用也消除模型可能存在的多重共線性問題； c）誤差修正項的引入保證了變量水平值的信息沒有被忽視； d）由于誤差修正項本身的平穩(wěn)性，使得該模型可以用經(jīng)典的回歸方法進行估計，尤其是模型中差分項可以使用通常的t檢驗與F檢驗來進行選??；等等。,3、誤差修正模型的建立,Granger 表述定理（Granger representaion theorem） Engl

23、e 與 Granger 1987年提出 如果變量X與Y是協(xié)整的，則它們間的短期非均衡關(guān)系總能由一個誤差修正模型表述。,模型中沒有明確指出Y與X的滯后項數(shù)，可以是多階滯后；由于一階差分項是I(0)變量，因此模型中允許采用X的非滯后差分項?Xt 。,建立誤差修正模型，需要： 首先對變量進行協(xié)整分析，以發(fā)現(xiàn)變量之間的協(xié)整關(guān)系，即長期均衡關(guān)系，并以這種關(guān)系構(gòu)成誤差修正項。 然后建立短期模型，將誤差修正項看作一個解釋變量，連

24、同其它反映短期波動的解釋變量一起，建立短期模型，即誤差修正模型。,Engle-Granger兩步法 第一步，進行協(xié)整回歸（OLS法），檢驗變量間的協(xié)整關(guān)系，估計協(xié)整向量（長期均衡關(guān)系參數(shù)）； 第二步，若協(xié)整性存在，則以第一步求到的殘差作為非均衡誤差項加入到誤差修正模型中，并用OLS法估計相應(yīng)參數(shù)。 需要注意的是：在進行變量間的協(xié)整檢驗時，如有必要可在協(xié)整回歸式中加入趨勢項，這時，對殘差項的穩(wěn)定性檢驗就無須再設(shè)趨勢

25、項。 另外，第二步中變量差分滯后項的多少，可以殘差項序列是否存在自相關(guān)性來判斷，如果存在自相關(guān)，則應(yīng)加入變量差分的滯后項。,經(jīng)濟理論指出，居民消費支出是其實際收入的函數(shù)。 以中國國民核算中的居民消費支出經(jīng)過居民消費價格指數(shù)縮減得到中國居民實際消費支出時間序列（C）； 以支出法GDP對居民消費價格指數(shù)縮減近似地代表國民收入時間序列(GDP)。 時間段為1978~2000（表9.3.3）,例 中國

26、居民消費的誤差修正模型 ☆,（1）對數(shù)據(jù)lnC與lnGDP進行單整檢驗,容易驗證lnC與lnGDP是一階單整的，它們適合的檢驗?zāi)Ｐ腿缦拢?(3.81)（-4.01） （2.66） （2.26） （2.54） LM(1)=0.38 LM(2)=0.67 LM(3)=2.34 LM(4)=2.46,首先，

27、建立lnC與lnGDP的回歸模型,（2）檢驗lnC與lnGDP的協(xié)整性，并建立長期均衡關(guān)系,（0.30） (57.48) R2=0.994 DW=0.744,發(fā)現(xiàn)有殘關(guān)項有較強的一階自相關(guān)性?？紤]加入適當(dāng)?shù)臏箜?，得lnC與lnGDP的分布滯后模型,(1.63) (6.62） （4.92） （-2.17）

28、 R2=0.994 DW=1.92 LM(1)=0.00 LM(2)=2.31,自相關(guān)性消除，因此可初步認(rèn)為是lnC與lnGDP的長期穩(wěn)定關(guān)系。,殘差項的穩(wěn)定性檢驗：,（-4.32） R2=0.994 DW=2.01 LM(1)=0.04 LM(2)=1.34,t=-4.32<-3.64=ADF0.05 說明lnC與lnGDP是（1，1）階協(xié)

29、整的，下式即為它們長期穩(wěn)定的均衡關(guān)系:,以穩(wěn)定的時間序列,（3）建立誤差修正模型,做為誤差修正項，可建立如下,誤差修正模型:,（6.96） (2.96) (-1.91) (-3.15) R2=0.994 DW=2.06 LM(1)=0.70 LM(2)=2.04,由式,可得lnC關(guān)于lnGDP的長

30、期彈性： (0.698-0.361)/(1-0.622)=0.892；由（**）式可得lnC關(guān)于lnGDP的短期彈性：0.686,(**),用打開誤差修正項括號的方法直接估計誤差修正模型，適當(dāng)估計式為:,（1.63）(6.62） (-2.99) (2.88) R2=0.791 =0.0064

31、 DW=1.93 LM(2)=2.31 LM(3)=2.78,寫成誤差修正模型的形式如下,由上式知，lnC關(guān)于lnGDP的短期彈性為0.698，長期彈性為0.892。 可見兩種方法的結(jié)果非常接近。,（4）預(yù)測,由式,給出1998年關(guān)于長期均衡點的偏差：,=ln(18230)-0.152-0.698ln(39008)-0.662ln(17072) +0.361ln(36684)= 0.0125,由式,預(yù)測1999年

32、的短期波動： ?lnC99=0.686(ln(41400)-ln(39008))+0.784(ln(18230)-ln(17072)) -0.484(ln(39008)-ln(36684))-1.163×0.0125= 0.048,于是,按照式,預(yù)測的結(jié)果為: ?lnC99=0.698（ln(41400)-ln(39008))-0.378(ln(18230)-0.4