線性代數(shù)公式必記

1、11、行列式1.行列式共有個元素，展開后有項，可分解為行列式；n2n!n2n2.代數(shù)余子式的性質：①、和的大小無關；ijAija②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0；③、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為；A3.代數(shù)余子式和余子式的關系：(1)(1)ijijijijijijMAAM??????4.設行列式：nD將上、下翻轉或左右翻轉，所得行列式為，則；D1D(1)21(1)nnDD???將順時針或逆時針

2、旋轉，所得行列式為，則；D90?2D(1)22(1)nnDD???將主對角線翻轉后（轉置），所得行列式為，則；D3D3DD?將主副角線翻轉后，所得行列式為，則；D4D4DD?5.行列式的重要公式：①、主對角行列式：主對角元素的乘積；②、副對角行列式：副對角元素的乘積；(1)2(1)nn???③、上、下三角行列式（）：主對角元素的乘積；?◥◣④、和：副對角元素的乘積；◤◢(1)2(1)nn???⑤、拉普拉斯展開式：、AOACABCBOB?

3、?(1)mnCAOAABBOBC???:⑥、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積；⑦、特征值；6.對于階行列式，恒有：，其中為階主子式；nA1(1)nnknkkkEAS??????????kSk7.證明的方法：0A?①、；AA??②、反證法；③、構造齊次方程組，證明其有非零解；0Ax?④、利用秩，證明；()rAn?⑤、證明0是其特征值；2、矩陣1.是階可逆矩陣：An（是非奇異矩陣）；?0A?（是滿秩矩陣）?()rAn?的行（列）向量組線

4、性無關；?A齊次方程組有非零解；?0Ax?，總有唯一解；?nbR??Axb?與等價；?AE可表示成若干個初等矩陣的乘積；?A的特征值全不為0；?A是正定矩陣；?TAA3②、，左乘矩陣，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；12n??????????????????Ai?Ai?A③、對調兩行或兩列，符號，且，例如：；()Eij1()()EijEij??1111111??????????????????????④、倍乘某行或某列，符號，且，例如

5、：；(())Eik11(())(())EikEik??1111(0)11kkk?????????????????????????⑤、倍加某行或某列，符號且，如：；(())Eijk1(())(())EijkEijk???11111(0)11kkk????????????????????????5.矩陣秩的基本性質：①、；0()min()mnrAmn???②、；()()TrArA?③、若，則；AB:()()rArB?④、若、可逆，則；（可逆

6、矩陣不影響矩陣的秩可逆矩陣不影響矩陣的秩）PQ()()()()rArPArAQrPAQ???⑤、；（※）max(()())()()()rArBrABrArB???⑥、；（※）()()()rABrArB???⑦、；（※）()min(()())rABrArB?⑧、如果是矩陣，是矩陣，且，則：（※）Amn?Bns?0AB?Ⅰ、的列向量全部是齊次方程組解（轉置運算后的結論）；B0AX?Ⅱ、()()rArBn??⑨、若、均為階方陣，則；ABn()

7、()()rABrArBn???6.三種特殊矩陣的方冪：①、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）列矩陣（向量）行矩陣（向量）行矩陣（向量）的形式，再采用結合律；?②、型如的矩陣：利用二項展開式；101001acb??????????二項展開式：；01111110()nnnnmnmmnnnnmmnmnnnnnnmabCaCabCabCabCbCab??????????????????注：Ⅰ、展開后有項；()nab?1n?Ⅱ、0(1)(