概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 7.3置信區(qū)間

1、解(1) 樣本的似然函數(shù)為,當(dāng)0 0,,X1, X2, …, Xn 是取自總體X的一組樣本,,求 ? 的極大似然估計(jì)量與矩估計(jì)量.,其中 ? > 0為未知參數(shù),,例 設(shè)總體 X 的密度為,故有對(duì)數(shù)似然函數(shù)：,對(duì)? 求導(dǎo)并令其為 0 可得似然方程：,= 0 ,,解得極大似然估計(jì)量：,令,(2),解得矩估計(jì)量：,而區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷.,無(wú)偏性有效性一致性,—— 估計(jì)量的期望值等于未知參數(shù)的

2、真值.,,為了使估計(jì)的結(jié)論更可信, 需要引入?yún)^(qū)間估計(jì).,評(píng)選標(biāo)準(zhǔn),—— 方差更小的無(wú)偏估計(jì)量.,? 樣本 k 階原點(diǎn)矩是總體 k 階原點(diǎn)矩 的無(wú)偏估計(jì)量 ;,? 樣本方差 S 2 是總體方差 ? 2 的無(wú)偏估計(jì)量 ;,? 無(wú)偏估計(jì)量的函數(shù)未必是無(wú)偏估計(jì)量,─

3、 ? 在 ? 的所有線性無(wú)偏估計(jì)量中, 樣本均值 X 是最有效的.,參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù). 使用起來(lái)把握不大.,點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值, 它沒(méi)有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍.,,,若我們根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本得到魚(yú)數(shù) N 的極大似然估計(jì)為 1000 條.,,一個(gè)可以想到的估計(jì)辦法是：若我們能給出一個(gè)區(qū)間,

4、并告訴人們?cè)搮^(qū)間包含未知參數(shù) N的可靠度 (也稱置信系數(shù)).,但實(shí)際上, N 的真值可能大于 1000 條, 也可能小于1000條.,§7.3 單個(gè)正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間,也就是說(shuō),給出一個(gè)區(qū)間，使我們能以一定的可靠度相信區(qū)間包含參數(shù) µ 。,,湖中魚(yú)數(shù)的真值,[ ],這里所說(shuō)的“可靠程度”是用概率來(lái)度量的, 稱為置信概率，置信度或置信水平.,習(xí)慣上把置信水平記作 1-? ,,這

5、里 ? 是一個(gè)很小的正數(shù).,譬如，在估計(jì)湖中魚(yú)數(shù)的問(wèn)題中,,?,根據(jù)置信水平1-? , 可以找到一個(gè)正數(shù) ? ,,例如, 通常可取置信水平 = 0.95 或 0.9 等等.,根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本, 由給定的置信水平1-? , 我們求出一個(gè)的區(qū)間 , 使,置信水平的大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的.,如何尋找這種區(qū)間？,使得,^我們選取未知參數(shù)的某個(gè)估計(jì)量 ? ,,^只要知道 ? 的概率分布就可以確定 ? .,下面

6、我們就來(lái)正式給出置信區(qū)間的定義, 并通過(guò)例子說(shuō)明求置信區(qū)間的方法.,由不等式,可以解出? ：,這個(gè)不等式就是我們所求的置信區(qū)間,代入樣本值所得的普通區(qū)間稱為置信區(qū)間的實(shí)現(xiàn).,1） 為兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量（由樣本完全確定的已知函數(shù)）；,X1, X2, …, Xn 是取自總體 X 的樣本,,對(duì)給定值 0 < ? < 1,,滿足,定義4 設(shè) ? 是總體 X 的待估參數(shù),

7、,分別稱為置信下限和置信上限.,一、 置信區(qū)間的概念,則稱隨機(jī)區(qū)間,為 ? 的置信水平為 1-? 的雙側(cè)置信區(qū)間 .,若統(tǒng)計(jì)量,和,置信度 置信概率,2） 是隨機(jī)區(qū)間,,并非一個(gè)實(shí)現(xiàn)以 1-? 的概率覆蓋了?,要求置信區(qū)間的長(zhǎng)度盡可能短.,估計(jì)的可靠度：,─即 P( ? <? <? )= 1-? 要盡可能大. ─,可靠度與精度是一對(duì)矛盾, 一般是在保證可靠度的條件下

8、盡可能提高精度.,估計(jì)的精度：,即要求區(qū)間置信的長(zhǎng)度盡可能短, 或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則.,要求? 以很大的可能被包含在置信區(qū)間內(nèi) .,要求估計(jì)盡量可靠.,置信水平的概率意義： 置信水平為 0.95 是指 100 組樣本值所得置信區(qū)間的實(shí)現(xiàn)中,,約有95個(gè)能覆蓋? ,,而不是一個(gè)實(shí)現(xiàn)以 0.95 的概率覆蓋了? .,估計(jì)要盡量可靠,,估計(jì)的精度要盡可能的高：,^只要知道? 的概率分布就可以確定? .,如何根據(jù)實(shí)

9、際樣本, 由給定的置信水平1-? , 求出一個(gè)區(qū)間 , 使,根據(jù)置信水平1-? , 可以找到一個(gè)正數(shù) ? ,,二、置信區(qū)間的求法,(一) 單個(gè)正態(tài)總體,1. 均值 ?,(1) 已知方差? 2,1. 均值 ?1- ?2,(1) 已知方差?12,?22,(二) 兩個(gè)正態(tài)總體,2. 方差? 2,(2) 未知方差? 2,使得,^我們選取未知參數(shù)的某個(gè)估計(jì)量 ? ,,由不等式,可以解出? ：,這個(gè)不等式就是我們所求

10、的置信區(qū)間,分布的分位數(shù),①,②,③,,(1) 已知均值 ?,(2) 未知均值 ?,(2) 未知方差?12,?22,2. 方差 ?12/?22,(1) 已知均值 ?1, ?2,(2) 未知均值 ? 1, ?2,,但相等!,,對(duì)于給定的置信水平, 根據(jù)估計(jì)量U 的分布, 確定一個(gè)區(qū)間, 使得 U 取值于該區(qū)間的概率為置信水平.,─

11、 X , S 2 分別是其樣本均值和樣本方差,,─ X ~ N(? , ? 2/n),,求參數(shù) ? 、? 2 的置信水平為1-? 的置信區(qū)間.,設(shè) X1, …, Xn 是總體 X ~ N( ? ,? 2)的樣本,,① 確定未知參數(shù)的估計(jì)量及其函數(shù)的分布,,是 ? 的無(wú)偏估計(jì)量,,② 由分布求分位數(shù) ?,即得置信區(qū)間,(一) 單個(gè)正態(tài)總體置信區(qū)間的求法,(1)已知方差? 2

12、時(shí),─故可用 X 作為 EX 的一個(gè)估計(jì)量,,~ N(0, 1),,對(duì)給定的置信度 1-? ,,按標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè) ? 分位數(shù)的定義,查正態(tài)分布表可得 u? / 2 ,,③ 由u? / 2確定置信區(qū)間,有了分布就可求出U 取值于任意區(qū)間的概率,簡(jiǎn)記為,由抽樣分布定理知,1. 均值 ? 的置信區(qū)間,是求什么參數(shù)的置信區(qū)間?,置信水平 1-? 是多少?,^1. 尋找未知參數(shù) ? 的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì)量 ? (X1, X2, …, X

13、n );,^確定待估參數(shù)估計(jì)量函數(shù) U(? ) 的分布 ;,求置信區(qū)間首先要明確問(wèn)題：,2. 對(duì)于給定的置信水平 1-? , 由概率,─( ? , ? ) 就是? 的 100(1-? )％ 的置信區(qū)間. ─,一般步驟如下:,─3. 由分位數(shù)|U|? x? 確定置信區(qū)間 (? ,? ).

14、─,,,查表求出分布的分位數(shù) x? ,,,總體分布的形式是否已知,是怎樣的類型,至關(guān)重要.,,某鄉(xiāng)農(nóng)民在聯(lián)產(chǎn)承包責(zé)任制前人均純收入 X(單位:元),,求 ? 的置信水平為 0. 95 的置信區(qū)間.,推行聯(lián)產(chǎn)承包責(zé)任制后, 在該鄉(xiāng)抽得 n =16 的樣本,,且 X ~ N (µ , 252).,解 由于 ? =0.05 ,,查正態(tài)分布表得,例1,─得 x =325元,,假設(shè) ? 2 = 25 2 沒(méi)有變化,,即得置信區(qū)間

15、 ( 312. 75 , 337. 25 ).,同一置信水平下的置信區(qū)間不唯一,,如在上例中取 ? = 0. 01 + 0. 04 ,,由正態(tài)分布上側(cè)分位數(shù)定義知,查表知,u0. 025 = 1. 96 ,,當(dāng)然區(qū)間長(zhǎng)度越短的估計(jì), 精度就越高.,其長(zhǎng)度也不相等.,區(qū)間長(zhǎng)度為 24. 25,長(zhǎng)度為 25. 5,誰(shuí)是精度最高的？,由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形是單峰且對(duì)稱的,,在保持面積不變的條件下, 以對(duì)稱區(qū)間的長(zhǎng)度為最短

16、! !,但的長(zhǎng)度是最短的,,l 與 n , ? 的關(guān)系：,可知,,置信區(qū)間的長(zhǎng)度 l 為:,由置信區(qū)間公式,l 隨著 ? 的減小而增大;,20 若給定 ? , l 隨著 n 的增大而減小;,同一置信水平下的置信區(qū)間不唯一.,其長(zhǎng)度也不相等.,故我們總?cè)∷鳛橹眯潘綖?1-? 的置信區(qū)間.,若給定 n ,,且由于 l 與 成反比,,減小的速度并不快,,例如, n 由 100 增至 400 時(shí),,l 才能減小一半

17、.,則 u? / 2 越大, l 就越大,,這時(shí)? 就越小.,10,?(u? / 2)就越大,,一般地, 在概率密度為單峰且對(duì)稱的情形下, a =-b 對(duì)應(yīng)的置信區(qū)間的長(zhǎng)度為最短.,,例2: 某廠生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度 X 服從 N(? , 0.04),現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取6個(gè)，長(zhǎng)度測(cè)量值如下(單位:毫米): 14.6, 15.l, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1.求:µ 的置信系數(shù)為

18、0.95的區(qū)間估計(jì)。,解：n = 6，? = 0.05，z?/2 = z0.025 = 1.96，?2=0.22 .,所求置信區(qū)間為,故不能采用已知方差的均值估計(jì)方法,由于 與 ? 有關(guān),,但其解決的思路一致.,由于 S 2是 ? 2 的無(wú)偏估計(jì)量,,查 t 分布表確定上側(cè) ? /2 分位數(shù),令,T =,(2) 未知方差,—— 用

19、 分布的分位數(shù)求 ? 的置信區(qū)間.,故可用 S 替代 ? 的估計(jì)量:,S,~ t(n-1),,即為 ? 的置信度為 1-? 的區(qū)間估計(jì).,,? 2 時(shí),由抽樣分布定理知,—— 實(shí)用價(jià)值更大 !!,t? / 2(n -1),,測(cè)定總體服從正態(tài)分布,,求總體均值 ? 的置信水平為 0. 95 的置信區(qū)間.,解 由于 ? /2 =0. 025 ,,查 t 分布表得,例3 為確定某種溶液中甲醛濃度,,─ 且

20、其 4 個(gè)獨(dú)立測(cè)量值的平均值 x = 8. 34%,,樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s= 0. 03%,,即得置信區(qū)間,自由度 n-1= 3,,t 0. 025 = 3. 182,,─ 將 x = 8. 34 % 代入 得,(2) ? 未知時(shí),所以? 2的置信水平為1-? 的區(qū)間估計(jì)為,因?yàn)? 2 的無(wú)偏估計(jì)為 S 2 ,,2. 方差 ? 2 的,置信區(qū)間的求法,由抽樣分布定理知,? 2 =,由確定 ? 2 分布的上側(cè) ? /

21、2 分位數(shù),找一個(gè)含? 與S, 但不含? , 且分布已知的統(tǒng)計(jì)量,為了計(jì)算簡(jiǎn)單,在概率密度不對(duì)稱的情形下,如 ? 2 分布,F 分布,習(xí)慣上仍取對(duì)稱的分位點(diǎn)來(lái)計(jì)算未知參數(shù)的置信區(qū)間.,并不是最短的置信區(qū)間,? /2,? /2,測(cè)定總體服從正態(tài)分布,,求總體均值 ? 的置信水平為 0. 95 的置信區(qū)間.,解 由于 ? /2 =0. 025 ,,查 ? 2 分布表得,例4 為確定某種溶液中甲醛濃度,,─ 且其

22、 4 個(gè)獨(dú)立測(cè)量值的平均值 x = 8. 34%,,樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s= 0. 03%,,故? 2 的置信區(qū)間為,自由度 n-1= 3,,得,,將 s 2 = 0. 0009代入,求總體方差? 2和標(biāo)準(zhǔn)差? 的置信水平為 0. 95 的置信區(qū)間.,故? 的置信區(qū)間為,在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)遇到兩個(gè)正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題。,于是，評(píng)價(jià)新技術(shù)的效果問(wèn)題，就歸結(jié)為研究?jī)蓚€(gè)正態(tài)總體均值之差 ?1-?2 的問(wèn)題。,例如：考察一項(xiàng)新技術(shù)對(duì)提高產(chǎn)品的某項(xiàng)

23、質(zhì)量指標(biāo)的作用，將實(shí)施新技術(shù)前的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)看成正態(tài)總體 N(?1, ?12)，實(shí)施新技術(shù)后產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)看成正態(tài)總體 N(?2, ?22)。,設(shè) X1, …, Xm分別是總體 X ~ N( ?1 ,?12)的樣本, Y1, …, Yn分別是總體 Y ~ N( ?2 ,?22)的樣本,,─ ─X , Y 分別是總體 X 和 Y 的樣本均值,,求參數(shù) ?1- ? 2 和 ?12/?22 的置信水平為 1-? 的置信區(qū)間.,,

24、─ ─由于X , Y 分別是?1, ? 2 的無(wú)偏估計(jì)量,,即得置信區(qū)間,(二) 兩個(gè)正態(tài)總體,(1)已知方差?12,?22 時(shí),─ ─故可用 X -Y 作為 ?1- ? 2 的一個(gè)估計(jì)量,,~ N(0, 1),,對(duì)給定的置信度 1-? ,,查正態(tài)分布表可得 u? / 2 ,,由抽樣分布定理知,1. 均值 ?1- ? 2 的置信區(qū)間,SX2 , SY2分別是總體 X 和 Y 的樣本方差,,置信區(qū)間的求法,,

25、,設(shè) X1, …, Xm分別是總體 X ~ N( ?1 ,?12)的樣本, Y1, …, Yn分別是總體 Y ~ N( ?2 ,?22)的樣本,,─ ─X , Y 分別是總體 X 和 Y 的樣本均值,,求參數(shù) ?1- ? 2 和 ?12/?22 的置信水平為 1-? 的置信區(qū)間.,,即得置信區(qū)間,(二) 兩個(gè)正態(tài)總體置信區(qū)間的求法,(2)未知方差?12,?22 , 但 ?12 = ?22 = ? 2時(shí),─

26、─仍用 X - Y 作為 ?1- ? 2 的一個(gè)估計(jì)量,,~ t(n+m-2),,對(duì)給定的置信度 1-? ,,查 t 分布表可得,由抽樣分布定理知,1. 均值差 ?1- ? 2 的置信區(qū)間,SX2 , SY2分別是總體 X 和 Y 的樣本方差,,t? / 2(n+m-2),,例5：某公司利用兩條自動(dòng)化流水線灌裝礦泉水。設(shè)這兩條流水線所裝礦泉水的體積 (單位:毫升) X～N(?1, ?2) 和 Y～N(?2, ?2)?，F(xiàn)從生產(chǎn)線上分別抽

27、取 X1, X2,…, X12 和 Y1, Y2, …, Y17，樣本均值與樣本方差分別為:,求 ? 1-? 2 的置信系數(shù)為0.95的區(qū)間估計(jì)。,解：m=12, n=17, ? = 0.05，且,查 t 分布表，得 tm+n-2(α /2) = t27(0.025)=2.05.因此，置信度為 1-? 的置信區(qū)間：,例6 (比較棉花品種的優(yōu)劣)：假設(shè)用甲、乙兩種棉花紡出的棉紗強(qiáng)度分別為 X～N(?1, 2.182)和Y ～N

28、(?2, 1.762)。試驗(yàn)者從這兩種棉紗中分別抽取樣本 X1, X2 ,…, X200 和 Y1, Y2, …, Y100，樣本均值分別為:,求 ?1-?2 的置信系數(shù)為 0.95 的區(qū)間估計(jì)。,解: ?1=2.18, ?2=1.76, m=200, n=100, ?=0.05,? 1-? 2 的置信系數(shù)為 1-? 的置信區(qū)間為:,設(shè)同上,,求參數(shù) ?12/?22 的置信水平為 1-? 的置信區(qū)間.,,即得?12/?22 的置信

29、區(qū)間,(二) 兩個(gè)正態(tài)總體置信區(qū)間的求法,(2)未知 ?1 , ?2 時(shí),~ F(m-1, n-1),,對(duì)給定的置信度 1-? ,,查 F 分布表可得上側(cè)分位數(shù),由抽樣分布定理知,2. 方差比 ?12/?22 的置信區(qū)間,F? / 2(m-1, n-1), F1-? / 2(m-1, n-1),,求兩總體方差比?12/?22 的置信水平為 0. 90 的置信區(qū)間.,稱重后所的樣本方差分別為 sx2= 0.0125, sy2= 0.

30、01,,假定所裝番茄醬的重量 X 與 Y 分別服從正態(tài)分布N( ?1 ,?12)和 N( ?2 ,?22),,解 由于 ? /2 =0. 05 ,,查 F 分布表得,例7 某廠用兩條流水線生產(chǎn)番茄醬小包裝,,現(xiàn)從兩條流水線上各隨機(jī)抽取樣本容量分別為 m=6 , n=7 的樣本,,將條件代入得 ?12/?22 的置信區(qū)間為 ( 0. 2847 , 6. 1875 ).,自由度 m-1=5, n-1= 6

31、,,,主要根據(jù)抽樣分布Th,(二)兩個(gè)總體,^② 由 ? 的概率分布和置信水平 1-? , 確定其相應(yīng)的分位數(shù) x? /2 ;,小結(jié)——正態(tài)總體置信區(qū)間的求法,(一)單個(gè)總體,均值 ?,已知方差? 2,均值差 ?1- ?2,已知方差?12,?22,方差? 2,未知方差? 2,解得所求的置信區(qū)間,^① 根據(jù)未知參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量, 確定其某個(gè)估計(jì)量 ? ;,③ 由不等式,,已知均值 ?,未知均值 ?,未知方差?12,?22,方差

32、比?12/?22,已知均值 ?1, ?2,未知均值 ? 1, ?2,但相等!,X1, …, Xn 是取自 X 的樣本,,─則稱隨機(jī)區(qū)間(-? , ? )為 ? 的置信水平為 1-? 的單側(cè)置信區(qū)間 ,,但有些實(shí)際問(wèn)題, 人們關(guān)心的只是參數(shù)在一個(gè)方向的界限.,這時(shí), 可將置信上限取為+∞, 而只著眼于置信下限,,上述置信區(qū)間中置信限都是雙側(cè)的,,例如對(duì)于設(shè)備、元件的使用壽命來(lái)說(shuō), 平均壽命過(guò)長(zhǎng)沒(méi)什么問(wèn)題, 過(guò)短就有問(wèn)題了.

33、,三、單側(cè)置信區(qū)間,定義,滿足,這樣求得的置信區(qū)間叫單側(cè)置信區(qū)間.,對(duì)給定值 0 < ? < 1,,滿足,設(shè) ? 是總體 X 的待估參數(shù),,稱 ? 為單側(cè)置信下限 ; ─,則稱隨機(jī)區(qū)間( ? ,+?)為 ? 的置信水平為 1-? 的單側(cè)置信區(qū)間 , ─,─ 稱 ? 為單側(cè)置信上限.,若統(tǒng)計(jì)量

34、,若統(tǒng)計(jì)量,求單側(cè)置信區(qū)間的思路完全同于雙側(cè)的情形,記錄其磨壞時(shí)所行駛路程(單位:公里),,問(wèn)該種輪胎平均行駛路程至少是多少( ? =0. 05 )？,解 由于? 2 未知,,查 t 分布表可得滿足條件 的上側(cè)分位數(shù),例8 從一批汽車輪胎中隨機(jī)地取16只作磨損試驗(yàn),,─ 算得樣本均值 x = 41116 ,,即得置信度為 0