結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)3

1、§13-5多自由度體系的自由振動(dòng),5.1 自由振動(dòng)分析,一.運(yùn)動(dòng)方程的建立及其解,自由振動(dòng)分析的目的是確定體系的動(dòng)力特性.可不計(jì)阻尼。,1.建立運(yùn)動(dòng)方程,(1)剛度法,=,+,+,,,或記作,,其中,若為自由振動(dòng)則有 ,于是:,(2)柔度法,=,簡記為,位移向量,柔度矩陣,荷載向量,質(zhì)量矩陣,若為自由振動(dòng)則有 ,于是:,簡記為,設(shè)方程的特解為,2.運(yùn)動(dòng)方程的解,,代入方程,得,,經(jīng)整理,得,,,--

2、-振型方程,為尋求Y1、Y2的非零解，上式中的系數(shù)行列式必為零，于是有：,---頻率方程,展開上式可得到一個(gè)關(guān)于 的二次方程,---頻率方程,展開,整理后有：,---與第一頻率相對應(yīng)的振型，簡稱第一振型,解頻率方程得 的兩個(gè)根,將 頻率代入振型方程，注意到行列式等于零，振型方程中的兩個(gè)方程是線性相關(guān)的，只有一個(gè)獨(dú)立的方程：,同樣處理將 頻率代入振型方程,---與第二頻率相對應(yīng)的振型，簡稱第二振型,---頻率方程,即,或記

3、作,,---振型方程,解頻率方程得 的兩個(gè)根,將 頻率代入振型方程,將 頻率代入振型方程,特解1,特解2,通解,其中A1、A2是由初始條件確定的任意常數(shù)。,特解1也可寫為,特解2也可寫為,二.關(guān)于頻率與振型的討論,體系按特解振動(dòng)時(shí)有如下特點(diǎn),1)各質(zhì)點(diǎn)同頻同步;,2)任意時(shí)刻,各質(zhì)點(diǎn)位移的比 值保持不變,定義:體系上所有質(zhì)量按相同頻率作自由振動(dòng)時(shí) 的振動(dòng)形狀稱作體系的主振型。,幾點(diǎn)說明：,1.按振型作自由振動(dòng)時(shí)

4、，各質(zhì)點(diǎn)的 速度的比值也為常數(shù)，且與位移 比值相同。,2.發(fā)生按振型的自由振動(dòng)是有條件的.,3.振型與頻率是體系本身固有的屬性, 與外界因素?zé)o關(guān).,4.N自由度體系有N個(gè)頻率和N個(gè)振型,頻率方程,解頻率方程得N個(gè) 從小到大排列,依次稱作第一頻率,第二頻率...,第一頻率稱作基本頻率,其它為高階頻率.,將頻率代入振型方程,得N個(gè)振型,N個(gè)振型彼此之間是線性無關(guān)的.,5。若已知柔度矩陣時(shí),6。求振型、頻率可列幅值方程

5、.,振型方程,頻率方程,按振型振動(dòng)時(shí),振型可看作是體系按振型振動(dòng)時(shí)，慣性力幅值作為靜荷載所引起的靜位移,三.求多自由度體系頻率、振型例題,例1.求圖示體系的頻率、振型,解,令,第一振型,第二振型,對稱體系的振型分成兩組:,一組為對稱振型,一組為反對稱振型,按對稱振型振動(dòng),按反對稱振型振動(dòng),第二振型,解:,例2.求圖示體系的頻率、振型. 已知:,,（3）求主振型,第1振型,第2振型,（2）求頻率,代公式,若有,例3.求圖示體

6、系的頻率、振型,解:,令,,例4. 試求圖示梁的自振頻率和主振型，梁的EI已知。,解：（1）計(jì)算頻率,（2）振型,,,第一振型,第二振型,例5 利用對稱性簡化圖示結(jié)構(gòu)柔度系數(shù)的求解。,解：,因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)和質(zhì)量分布均勻?qū)ΨQ，其振型也是對稱和反對稱的，分別取半邊結(jié)構(gòu)計(jì)算。,求對稱振型,求反對稱振型,以求對稱振型為例說明[δ ]中系數(shù)的求解。首先求出半邊結(jié)構(gòu)在集中質(zhì)量上分別作用有單位集中力產(chǎn)生的彎矩圖。,(a) M1圖,(b) M2 圖,為了求