三大統(tǒng)計(jì)分布

1、§6.2 三大統(tǒng)計(jì)分布,本節(jié)介紹數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的三個(gè)著名分布，它們?cè)趨?shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)等統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題中有廣泛應(yīng)用. 一、X平方-分布定義6.1 設(shè)隨機(jī)變量 獨(dú)立且服從相同分布 ，則稱(chēng) (6-8) 所服從的分布是自由度為n的 -分布，記為 ，稱(chēng) 為 -變量. 為紀(jì)念英國(guó)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾（K.Pearson，1857-1936）,

2、,,,,,,,- 分布也稱(chēng)為皮爾遜 -分布. 這是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中一個(gè)十分重要的概率分布. 根據(jù)獨(dú)立隨機(jī)變量和的密度公式(3-27)和數(shù)學(xué)歸納法，可以證明： -分布的概率密度函數(shù)為（詳見(jiàn)[5]） ，（6-9）其中 是 -函數(shù)，定義見(jiàn)第四章附錄2． 圖6.1是 -變量的概率密度函數(shù)(6-9)在幾種

3、不同參數(shù)下的圖像.,,,,,,,,特別地，當(dāng) 時(shí)， 服從參數(shù) 的指數(shù)分布. 此外， -分布具有以下性質(zhì)：（1）數(shù)字特征. 若 ，則 ， . （2）可加性. 若 且 與 獨(dú)立，則. (6-10),,,,,,

4、,,,,,,,,為便于今后的應(yīng)用，現(xiàn)在我們引入上側(cè)分位數(shù)的概念. 所謂一個(gè)分布的 -上側(cè)分位數(shù)就是指這樣一個(gè)數(shù)，它使相應(yīng)分布的隨機(jī)變量不小于該數(shù)的概率為 . 比如，若記 -變量 的 -上側(cè)分位數(shù)為，則滿(mǎn)足（見(jiàn)圖6.2）.,,,,對(duì)不太大的n，如 60，可用附表3查 的值，而對(duì)較大的n，則可用（6-11）近似計(jì)算

5、 , (6-12) 其中 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 的 -上側(cè)分位數(shù)，可通過(guò)附表2查出.,,,,,,,二、t -分布,定義6.2 設(shè) ， ，X與Y獨(dú)立，則稱(chēng) (6-13) 所服從的分布是自由度為n的t-分布，記作 . t -分布也稱(chēng)為學(xué)生分布，是

6、英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家戈塞特（Goset，1876-1937）在1908年“Student”的筆名首次發(fā)表的，這個(gè)分布在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中也占有重要的地位. 根據(jù)獨(dú)立隨機(jī)變量商的密度公式(3-32)，可以證明（過(guò)程從略）：(6-13)中的 概率密度函數(shù)為,,,,,,根據(jù)獨(dú)立隨機(jī)變量商的密度公式(3-32)，可以證明（過(guò)程從略）：(6-13)中 的概率密度函數(shù)為

7、 , . (6-14) 另外，t -分布具有以下性質(zhì)：（1）（近似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)） 當(dāng) 時(shí)， 這就是說(shuō)，當(dāng)n充分大時(shí)，t -分布 近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ，但如果n較小，這兩個(gè)分布的差別還是比較大的，見(jiàn)圖6.3，,,,,,,,,其中粗虛線(xiàn)是 的密度函數(shù) . 我們看到，所有的t -分布密度函數(shù)值在

8、 附近均未超過(guò)的值，而在兩邊的尾部均超過(guò) 了的值. 這就是統(tǒng)計(jì)學(xué)中所謂的“重尾”（Heavy Trails）現(xiàn)象.,,,,,（2）（數(shù)字特征）若 ， ，則 順便指出，自由度為1的t -分布也稱(chēng)為柯西（Cauchy）分布，它以其數(shù)學(xué)期望和方差均不存在而聞名（見(jiàn)例4.3）. 記t -分布 的 -上側(cè)分位數(shù)為 ，附表4給出了不同n和

9、所對(duì)應(yīng)的 數(shù)值. 另外，由性質(zhì)（1）知，對(duì)較大的n（比如 60） ，可用下式近似. (6-15),,,,,,,,,,,三、F -分布,定義6.3 設(shè) 且X與Y獨(dú)立，則稱(chēng) (6-16) 所服從的分布是自由度

10、為 的F-分布，記作 ，這是為紀(jì)念英國(guó)著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇（R.A. Fisher，1890-1962）而命名的．F-分布也是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一個(gè)重要分布. 注意到(6-16)的商結(jié)構(gòu)，則根據(jù)隨機(jī)變量商的密度計(jì)算公式（3-34）可求得F-分布 的概率密度函數(shù)為（過(guò)程從略，詳見(jiàn)[3, 4]）,,,,,,, (6-17) 圖6.4是四組不同參數(shù)下該密度函數(shù)

11、的圖像.,,另外，由定義6.3，立即有以下結(jié)論：若 ，則 .這個(gè)結(jié)論可用于計(jì)算分布 的 -上側(cè)分位數(shù) . 具體地說(shuō)，我們有. (6-18) 事實(shí)上，由 、