平面的點(diǎn)法式方程

1、,,,①,一、平面的點(diǎn)法式方程,設(shè)一平面通過已知點(diǎn),且垂直于非零向,,稱①式為平面?的點(diǎn)法式方程,,求該平面?的方程.,法向量.,量,,,,則有,故,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,例1.求過三點(diǎn),即,,解: 取該平面? 的法向量為,的平面 ? 的方程.,利用點(diǎn)法式得平面 ? 的方程,,,,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,此平面的三點(diǎn)式方程也可寫成,一般情況 :,過三點(diǎn),的平面

2、方程為,說明:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,特別,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為,此式稱為平面的截距式方程.,時,,,平面方程為,分析:利用三點(diǎn)式,按第一行展開得,即,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,二、平面的一般方程,設(shè)有三元一次方程,以上兩式相減 , 得平面的點(diǎn)法式方程,此方程稱為平面的一般,任取一組滿足上述方程的數(shù),則,顯然方程②與此點(diǎn)法式方程等價,,②,,的平面,,因此方程②

3、的圖形是,法向量為,方程.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,特殊情形,? 當(dāng) D = 0 時, A x + B y + C z = 0 表示,通過原點(diǎn)的平面;,? 當(dāng) A = 0 時, B y + C z + D = 0 的法向量,平面平行于 x 軸;,? A x+C z+D = 0 表示,? A x+B y+D = 0 表示,? C z + D = 0 表示,? A x + D =0 表示,? B y + D

4、 =0 表示,平行于 y 軸的平面;,平行于 z 軸的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例2. 求通過 x 軸和點(diǎn)( 4, – 3, – 1) 的平面方程.,例3.用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程.,解:,因平面通過 x 軸 ,,設(shè)所求平面方程為,代入已知點(diǎn),得,化簡,得所求平面方程,(P327 例4 ,

5、自己練習(xí)),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、兩平面的夾角,設(shè)平面∏1的法向量為,平面∏2的法向量為,則兩平面夾角? 的余弦為,,,,,即,,,兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.,,,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,特別有下列結(jié)論：,,,,,,,,,,,,,,,,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例4. 求兩平面,解: 應(yīng)用公式有,機(jī)動 目錄

6、 上頁 下頁 返回 結(jié)束,的,夾角.,因此,因此有,例5. 一平面通過兩點(diǎn),垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .,解: 設(shè)所求平面的法向量為,即,的法向量,約去C , 得,即,,,和,則所求平面,故,,方程為,,且,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,外一點(diǎn),求,例6. 設(shè),解:設(shè)平面法向量為,在平面上取一點(diǎn),,是平面,到平面的距離d .,,則P0 到平面的距離為,,,,,,,,

7、,,,(點(diǎn)到平面的距離公式),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例7.,解: 設(shè)球心為,求內(nèi)切于平面 x + y + z = 1 與三個坐標(biāo)面所構(gòu)成,則它位于第一卦限,且,因此所求球面方程為,四面體的球面方程.,從而,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,內(nèi)容小結(jié),1.平面基本方程:,一般式,點(diǎn)法式,截距式,三點(diǎn)式,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,精品課件！,精品課件！,