數(shù)值分析典型例題與習(xí)題1

1、具有n 位有效數(shù)字,則絕對誤差滿足,相對誤差滿足,如果一個浮點數(shù),1. 設(shè)x*是 f(x)=0在[a, b]內(nèi)的唯一根,且 f(a)·f(b)<0,則二分法計算過程中, 數(shù)列,滿足: | xn – x*|≤ (b – a)/ 2n+1,2. Newton迭代格式:,3. 弦截法迭代格式:,(n = 0, 1, 2 , ·····),設(shè) , 若存在 a>

2、0 , r>0 使得,則稱數(shù)列{xn} r 階收斂.,定理2.6 設(shè)x*是 的不動點,且,而 則 p階收斂,例1.設(shè)x1 = 1.21,x2 = 3.65,x3 = 9.81都具有三位有效位數(shù),試估計數(shù)據(jù)：x1×(x2+x3)的誤差限。,解：由|e(x1)|≤0.5×10-2，|e(x2)|≤

3、0.5×10-2， |e(x3)|≤0.5×10-2所以, |e(x2+x3)|≤10-2 |e(x1×(x2+x3))|≤ (1.21+0.5×13.46)×10-2 =7.94×10-2,例2.設(shè)計算球體V允許其相對誤差限為 1%,問測量

4、球半徑R 的相對誤差限最大為多少?,解：由球體計算公式分析誤差傳播規(guī)律,故當(dāng)球體V 的相對誤差限為 1% 時，測量球半徑R的相對誤差限最大為0.33%。,?,?,相對誤差傳播規(guī)律,Ex1. 對球冠體積若允許其相對誤差為1%,問應(yīng)該對R, h 如何限制?,例3*. 采用迭代法計算 ，取x0 = 7,(k = 0，1，2，……),若xk具有n位有效數(shù)字，求證xk+1具有2n位有效數(shù)字。,Ex2：對 是否都有這一性質(zhì)?,

5、1-8 序列{ yn }滿足遞推關(guān)系 yn = 10yn-1 – 1 (n = 1,2,·····)若取 y0 =√2 ≈1.41(三位有效數(shù)字).遞推計算 y10 時誤差有多大？,思考: 由遞推導(dǎo)出符號表達式可否用于計算？,Ex3.用遞推公式: In = 1 – nIn-1 (I0 = 1- e-1)推導(dǎo) In 的符號表達式,1-12

6、利用級數(shù)可計算出無理數(shù)? 的近似值。由于交錯級數(shù)的部分和數(shù)列Sn 在其極限值上下擺動，試分析，為了得到級數(shù)的三位有效數(shù)字近似值，應(yīng)取多少項求和。,解: 由部分和,只需,? n > 1000時, Sn有三位有效數(shù),Ex4.推導(dǎo)部分和數(shù)列加速的計算表達式,2-6  應(yīng)用牛頓迭代法于方程 x3 – a = 0,導(dǎo)出求立方根的迭代公式,并討論其收斂階。,解：令 f(x) = x3 – a，則牛頓迭代公式,故立方根迭代算

7、法二階收斂,例 4.設(shè)a 為正實數(shù)，試建立求1/a 的牛頓迭代公式，要求在迭代公式中不含有除法運算，并考慮迭代公式的收斂。,xn+1 = xn(2 – a xn)，( n = 0，1，2 ……),所以,當(dāng)| 1 – a x0| < 1 時，迭代公式收斂。,解:建立方程,利用牛頓迭代法，得,例2.10 用牛頓迭代法求解非線性方程組,分別取初值(1,0),(2,2),牛頓迭代法計算數(shù)據(jù)如下,Ex6. 若 x*是f(x)=0的m重根,試

8、分析牛頓迭代法的收斂階,Ex7. 若 x*是f(x)=0的m重根,試證明修正的牛頓迭代法,至少為二階收斂,Ex9 隱函數(shù)定理條件滿足時,利用G(x, y) = 0可以計算隱函數(shù)的值,設(shè)有G(x0, y0) = 0,則在x0附近有y = y(x). 試分別構(gòu)造牛頓迭代法和割線法計算函數(shù)值的迭代格式,Ex8 證明割線法可改寫如下迭代公式,Ex11 確定下列方程的全部隔根區(qū)間,(1) x sin x = 1；(2) sin x –

9、e -x =0；(3) x = tan x； (4) x2 – e-x =0,Ex10 在計算機上對調(diào)和級數(shù)逐項求和計算,當(dāng) n 很大時，Sn 將不隨n 的增加而增加。試分析原因。,Ex12 對于復(fù)變量 z = x + i y 的復(fù)值函數(shù) f(z) 應(yīng)用牛頓迭代公式,時為避開復(fù)數(shù)運算,令 zn = xn + i yn f(zn) = An + i Bn，f’(zn) = Cn + i Dn,證明,牛頓迭代

10、法的收斂域問題: 用牛頓迭代法求解復(fù)數(shù)方程 z3 – 1 = 0，該方程在復(fù)平面上三個根分別是,z1 = 1,選擇中心位于坐標(biāo)原點，邊長為2的正方形內(nèi)的任意點作初始值，進行迭代，把收斂到三個根的初值分為三類，并分別標(biāo)上不同顏色（例如紅、黃、藍）。對充分多的初始點進行實驗，繪出牛頓迭代法對該方程的收斂域彩色圖。,,,,收斂到 z1 的牛頓迭代初值點集合,收斂到 z2 的牛頓迭代初值點集合,收斂到 z3 的牛頓迭代初值點集合,精品課件！,