高二數(shù)學競賽班一試講義

1、1高二數(shù)學競賽班一試講義高二數(shù)學競賽班一試講義第七講第七講復數(shù)與單位根復數(shù)與單位根班級班級姓名姓名一、知識要點：一、知識要點：1復數(shù)模、共軛復數(shù)模運算符合乘除運算，模的加減符合三角不等式121212zzzzzz?????模與共軛的聯(lián)系2zzz?2復數(shù)的幾何（向量）意義在復平面上對應點，也對應著向量zxyi??()ZxyOZ????復數(shù)滿足，軌跡表示復數(shù)對應的點組成的線段的中垂線zzazb???abAB復數(shù)滿足，軌跡表示以為圓心，為半徑的

2、圓z0zzr??0zr復數(shù)滿足，軌跡表示圓（阿波羅尼斯圓）z1zazbR?????????3復數(shù)的三角形式，(cossin)0zrir?????是復數(shù)的輻角，時稱為復數(shù)的輻角主值?[02)???運算法則：，11111(cossin)0zrir?????22222(cossin)0zrir?????乘法121212121(cos()sin())0zzrrir?????????除法111212122(cos()sin())0zrirzr??

3、???????乘方(cossin)0nnzrninr?????開方，(cossin)0zrir?????有個次方根：znn22(cossin)012...1nkkkzriknnn??????????4單位根：單位根：記，其中為虛數(shù)單位，多項式有個互222cossinineinn???????i1nx?n不相等的根，它們稱為次單位根單位根。易于看到，在復平面上，個次2(1)n???????nnn單位根對應的點恰是單位圓的內(nèi)接正邊形的頂點。

4、n5次單位根的性質(zhì)：n（1）設和是整數(shù)，則的充分必要條件是klkl???(mod)kln?（2）任意兩個次單位根的乘積仍是一個次單位根；任意一個次單位根的倒數(shù)也是nnn一個次單位根。n（3）設是整數(shù)，，則恰給出全體次單位根。k()1kn?()(12)klln?????n證明：因為，所以是模的一個完系()1kn?2kknk???n6因是的個不同的根，故有2(1)n???????1nx?n11(1)()()nnxxxx???????????

5、，又，所以)1)(1(1221?????????????xxxxxxnnn（1）)())((112221??????????????????nnnxxxxxxx???（2）0112?????????n???3例6設是正整數(shù)，證明：n（1）036901(22cos)33nnnnnnSCCCC???????????（2）1471011(2)(22cos)33nnnnnnSCCCC????????????（3）2581121(4)(22cos

6、)33nnnnnnSCCCC????????????例7(2011年清華金秋營年清華金秋營)求sinsinsin的值。n??n?2nn?)1(?三、精選習題三、精選習題1（13華約5）若復數(shù)的實部為0，是復平面上對應的點，則點的軌11ww??Z11w???Zxy跡是（）(A)一條直線(B)一條線段(C)一個圓(D)一段圓弧2關(guān)于的一元二次方程有一根模長為1，則=___________()xxC?210xxm????m3若虛數(shù)滿足，則，其