魔方的生成元

1、1關(guān)于魔方的生成元問題關(guān)于魔方的生成元問題定理：魔方的生成元有六個(gè)，其中任意五個(gè)生成元是獨(dú)立的。是極大無定理：魔方的生成元有六個(gè)，其中任意五個(gè)生成元是獨(dú)立的。是極大無關(guān)組，而四個(gè)生成元不是極大無關(guān)組。六個(gè)生成元是不獨(dú)立的。任意一個(gè)生成關(guān)組，而四個(gè)生成元不是極大無關(guān)組。六個(gè)生成元是不獨(dú)立的。任意一個(gè)生成元可以由其它五個(gè)生成元表示。元可以由其它五個(gè)生成元表示。證明：證明：一個(gè)角在同一個(gè)位置上有三個(gè)方向。轉(zhuǎn)動(dòng)可以實(shí)現(xiàn)一個(gè)角在同一個(gè)位置上的三個(gè)

2、方向，下面說明這一點(diǎn)。例如角7，不妨設(shè)7的前面是紅色。上面是黃色，右面是藍(lán)色。依順時(shí)針為序不會(huì)發(fā)生變化。位置變動(dòng)順時(shí)針為正，逆時(shí)針為負(fù)，即則紅色轉(zhuǎn)到上面為正，紅色轉(zhuǎn)到右面為負(fù)。角7轉(zhuǎn)動(dòng)U使7到5，紅色到左邊，再轉(zhuǎn)動(dòng)F使5到7，紅色到上邊，角7轉(zhuǎn)動(dòng)U使7到6，紅色到右邊，再轉(zhuǎn)動(dòng)R使6到7，紅色到右邊，下面說明一個(gè)角可以轉(zhuǎn)動(dòng)到八個(gè)不同的位置上。例如角7，轉(zhuǎn)動(dòng)U，可以到5，4，6三個(gè)位置。轉(zhuǎn)動(dòng)R可以到（6），2，3三個(gè)位置。轉(zhuǎn)動(dòng)F可以到（3）

3、，1，（5）三個(gè)位置。這里只涉及七個(gè)角。再轉(zhuǎn)動(dòng)L，（4），（5），（1）可以轉(zhuǎn)到0。這里涉及八個(gè)角。這里用到四個(gè)生成元U，R，F(xiàn)，L。一個(gè)邊在同一個(gè)位置上有二個(gè)方向。轉(zhuǎn)動(dòng)可以實(shí)現(xiàn)一個(gè)邊在同一個(gè)位置上的二個(gè)方向，下面說明這一點(diǎn)。例如邊S前面是紅色。上面是黃色。轉(zhuǎn)動(dòng)U使S到T，紅色到左邊，再轉(zhuǎn)動(dòng)L使T到Z，紅色仍然在左邊，繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)F使Z到S，紅色到上邊。然而：轉(zhuǎn)動(dòng)U使S到，T，S，T。轉(zhuǎn)動(dòng)R可以使Ｔ到Ｐ，Ｎ，Ｈ。轉(zhuǎn)動(dòng)F可以使Ｈ到Ｍ，Ｚ，（Ｓ

4、）轉(zhuǎn)動(dòng)L可以使Ｚ到－Ｎ，Ｑ，（Ｔ）。四個(gè)生成元U，R，F(xiàn)，L只涉及十一個(gè)邊。即四個(gè)生成元不能得到整個(gè)魔方群。即四個(gè)生成元不是極大無關(guān)組。只有再增加一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)。例如增加一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)Ｄ，使－Ｎ到－Ｍ，（Ｎ），（Ｍ）?；蛟黾右粋€(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)Ｂ，使Ｑ到（－Ｓ），（Ｐ），－M。才能使一條邊到達(dá)十二個(gè)位置上。得到整個(gè)魔方群。所以五個(gè)生成元是極大無關(guān)組。因?yàn)檎麄€(gè)魔方可以任意拿，所以也就證明了魔方的生成元有六個(gè)。其中魔方的生成元有六個(gè)。其中3S__Q，Q__m，m_

5、_P，P__S。以下說明實(shí)現(xiàn)上述變化的轉(zhuǎn)動(dòng)程序。下證明B的任何轉(zhuǎn)動(dòng)，可以由U，D，F(xiàn)，R，L的轉(zhuǎn)動(dòng)而加以實(shí)現(xiàn)。（表一，表二列表示轉(zhuǎn)動(dòng)，行表示塊的變化）設(shè)：X=UD’R2L2UD’則X’=U’DR2L2U’D。表二：EXFX90EX2FX180EX3FX270415041724136SMZQSMSMSMHP631463506372TTTTTTTTT常727727727常SMSSMSSMS常505505505常TTTTTTTTT常05720

6、5360514MSHPMSMSMSZQ273627142750NNNNNNNNN常363363363常MSMMSMMSM常141141141常NNNNNNNNN常QZSMQZHPQZMSPHMSPHZQPHSMHPHHPHHPH常ZQZZQZZQZ常由上面的表可以看出：B=XFXB2=XF2XB]=B3=XF3X定理證畢。任何轉(zhuǎn)動(dòng)都是四個(gè)邊四個(gè)角八個(gè)元素的變換，E表示恒等變換，DUFRL的四次方都是恒等變換。三次方等于逆變換。即X3=X