具有非一致線性增長(zhǎng)生成元的倒向隨機(jī)微分方程的Lp(p-1)解.pdf

1、Pardoux-Peng[46]在生成元g滿足一致Lipschitz連續(xù)條件下證明了倒向隨機(jī)微分方程(簡(jiǎn)記為BSDE)平方可積適應(yīng)解的存在惟一性,奠定了 BSDE相關(guān)理論研宄的基礎(chǔ).隨著深入的研宄,很多學(xué)者發(fā)現(xiàn)了 BSDE在金融數(shù)學(xué)、隨機(jī)最優(yōu)控制和隨機(jī)決策、偏微分方程、金融資產(chǎn)定價(jià)、微分效用、金融風(fēng)險(xiǎn)度量等領(lǐng)域中的重要應(yīng)用前景.目前, BSDE理論在國(guó)際上產(chǎn)生了重要的影響,并已經(jīng)成為當(dāng)前隨機(jī)分析和概率論研宄領(lǐng)域中的熱點(diǎn)研宄方向之一.

2、r>　　我們考慮下面形式的非線性倒向隨機(jī)微分方程:
　　這里T>0可以為有限或無(wú)限,稱為終端時(shí)刻;C是 F t-可測(cè)的R fc值隨機(jī)變量,稱為BSDE的終端變量;g(,.,y,z)是 BSDE的生成元且為Ft-循序可測(cè)的隨機(jī)函數(shù).我們記上述BSDE(1)的適應(yīng)解為(執(zhí),灸)問(wèn)0,件
　　本文主要研宄在生成元g滿足對(duì)t不一致線性增長(zhǎng)和終端時(shí)刻可為有限或無(wú)限時(shí)BSDE(1)的U(p>1)解的存在性問(wèn)題。
　　在前兩章,我們

3、主要介紹了與倒向隨機(jī)微分方程有關(guān)的研宄背景以及一些基礎(chǔ)知識(shí)和引理。
　　第三章,我們首先在生成元g滿足關(guān)于y弱單調(diào)且關(guān)于z滿足對(duì)t不一致的一致連續(xù)條件下,證明了 BSDE(1)的U(p>1)解的一個(gè)一般比較定理:
　　命題3.3.假設(shè) C1J2 G嘩,F t,P), g1和 g2是 BSDE的兩個(gè)生成元,并設(shè)(y W)和(y2,z.2)分別是 BSDEb1J j1)和 BSDE(g2,T,f2)的一個(gè) U解.如果 dP-a.

4、s., C1< C2, g1(或 g2)滿足假設(shè)(A3)和(A4)以及 dP x dt-a.s., g1(t,y2,zt2)< g2(t,yt2,zt2)(或 g1(t,yt1,z1)< g^ K)),則對(duì)任意的 t g[o, t]有dP-a.s。
　　命題3.3保證了具有非一致Lipschitz生成元的BSDE的 Up(p>1)解的存在唯一性.且易知上述比較定理包含和推廣了 Cao-Yan[11], Briand-Hu[7],

5、El Karoui-Peng-Quenez[20], Chen-Wang[14], Fan-Jiang-Tian[25]等中的解的比較定理的結(jié)果。
　　其次,利用引理3.10,在生成元g滿足非一致線性增長(zhǎng)條件下,我們證明了如下的先驗(yàn)估計(jì)。
　　命題3.11.如果(Y,Z)是 BSDE⑴的一個(gè)U解,且生成元g滿足假設(shè)(H3),則存在一個(gè)正的常數(shù)C,使得
　　其中 C是一個(gè)僅依賴于 p, E[|e|p], E[(/0t f

6、 tdt)P], JqT u(t)dt和 JqT v2(t)dt的正的常數(shù)。
　　在第四章中,我們得出了本文的主要結(jié)論,即證明了 BSDE在生成元g滿足對(duì) t不一致線性增長(zhǎng)和終端時(shí)刻可為有限或無(wú)限情況下BSDE的 LP(p>1)解的存在性,并且驗(yàn)證其是一個(gè)最小解。
　　定理4.1.假設(shè)終端時(shí)刻O< T<+⑴和生成元g滿足條件(H2)和(H3),則對(duì)任意的C^轉(zhuǎn),F t,P), BSDE( I)存在唯一的最小解(y,z) G

7、Sp x Mp。
　　在證明定理4.1時(shí),我們的主要研宄方法是通過(guò)構(gòu)造一族滿足Lipschitz連續(xù)條件且逼近具有非一致線性增長(zhǎng)的生成元g的生成元序列{g j,然后證明以{g n}為生成元的B S D E的解{(Y?,Z n)}是 Sp x M p中的一族Cauchy列,并且收斂到BSDE( g,T,C)的解。
　　事實(shí)上,本文具有非一致線性增長(zhǎng)生成元的倒向隨機(jī)微分方程的最小L p(p>1)解的存在性結(jié)論包含和改進(jìn)了 Lep