非線性數(shù)學期望的性質和倒向隨機微分方程的Lp解.pdf

1、現(xiàn)如今非線性數(shù)學期望越來越成為人們研究的熱點，各國學者致力于在非線性框架下研究各種問題.在倒向隨機微分方程(BSDE)理論的基礎上，受經濟中期望效用理論的啟發(fā)，Peng首先于1997年在[50]中通過倒向隨機微分方程引入了g-期望.這是一種性質優(yōu)良的數(shù)學期望，保留了經典數(shù)學期望除線性以外的所有性質.其非線性性質主要是通過生成元g的非線性性質來刻畫的.g-期望是動態(tài)相容的非線性數(shù)學期望的典型例子，同時也是研究金融數(shù)學的非線性動態(tài)定價問題以

2、及動態(tài)風險度量問題的重要工具.受風險度量和金融中隨機波動性問題的啟發(fā)，Peng于2006年在[51]中通過非線性偏微分方程引入了另一類非線性期望-G-期望.G-期望是一種全新的非線性期望，是由生成元函數(shù)為G的非線性拋物型偏微分方程的解定義的.上述非線性期望理論的提出，為解決大量的現(xiàn)實問題提供了強有力的工具，具有廣泛的理論意義和現(xiàn)實意義作用.在g-期望和G-期望的基礎上，產生了許多優(yōu)秀的工作，如Chen等人([15]，[16])，Hu([

3、31])，Jiang和Chen([36])，Jia和Peng([33])，Peng([54],[55])，王([71],[72]),Chen([12]),Hu([28]),Hu和Zhang([29]),Hu和Peng([30])，Jiang和Chen,([36])，Chen([10])，Bai和Buckdahn([2])等等.
　　 在最近二十年，倒向隨機微分方程一直是方程界研究的熱點問題.倒向隨機微分方程理論已經逐漸成為概率論

4、、隨機分析理論中的一個重要分支，被廣泛地應用在數(shù)理金融學、隨機控制、偏微分方程、隨機對策等領域.大量學者致力于研究在各種不同條件下，各種形式的倒向隨機微分方程解的存在性、唯一性、比較定理、逆比較定理等等關于解的性質問題，如Briand和Carmona([4])，Briand等人([5]，[6])，Briand和Hu([7]，[8])，Chen和Wang([13])，Coquet等人([18]),ElKaroui和Peng([20]),F

5、an和Jiang([22]),Jia([32]),Jiang([34]，[35]),Lepeltier和Martin([39])，Mao([43])，Tian等人([60])，Wang和Huang([65])，Wang等人([66])等等.
　　 本篇論文分四章進行討論.下面列出每章的主要內容和重要結果.
　　 在第一章里，一方面，我們主要介紹了非線性期望的Jensen不等式.主要包括次線性期望的Jensen不等式和最小

6、數(shù)學期望的Jensen不等式.另一方面，我們研究了由非線性期望誘導出的容度的性質.主要是關于這種容度的Borel-Cantelli引理.
　　 主要的結果有:我們首先給出非線性期望的Jensen不等式.
　　 定理1.3.3設（Ω，(H)，(E)）是一個次線性期望空間，h是定義在(R)上的一個實值連續(xù)、不減的凹函數(shù).對(V)X∈(H)，若有h(X)∈(H)，則Jensen不等式成立(E)[h(X)]≤h((E)[X]).

7、
　　 定理1.3.5設（Ω，(H)，(E)）是一個次線性期望空間，設g是定義在(R)上的一個實值連續(xù)凸函數(shù).對(V)X∈(H)，若有g(X)∈(H)，則Jensen不等式成立g((E)[X])≤(E)[g(X)].
　　 對于最小數(shù)學期望(E)，相應地有下列Jensen不等式.
　　 定理1.3.9設h是定義在(R)上的一個實值連續(xù)凹函數(shù).任意可積隨機變量X，若有h(X)也可積，則Jensen不等式成立(E)[

8、h(X)]≤h((E)[X]).
　　 定理1.3.10設g是定義在(R)上的一個實值連續(xù)、不減的凸函數(shù).任意可積隨機變量X，若有h(X)也可積，則Jensen不等式成立g（(E)[X]）≤(E)[g(X)].
　　 在這部分的最后，我們舉例說明對于實值連續(xù)、不增的凹函數(shù)，定理1.3.3中的Jensen不等式一般是不成立的以及定理1.3.10中的Jensen不等式對實值連續(xù)、遞減的凸函數(shù)一般也是不成立的.
　　

9、關于容度的Borel-Cantelli引理的結果主要有:
　　 定理1.4.2設｛Ai，i≥1｝是(F)中的一列事件，（(V)，(v)）是由次線性期望(E)誘導出的一對容度.
　　 (Ⅰ)若∞∑i=1(V)(Ai)＜∞，則(V)(∞∩m=1∞∪i=mAi)=0;
　　 口(Ⅱ)假設存在常數(shù)C和K≥1，對所有的i，j＞C且i≠j，滿足(V)（AiAj）≤K(V)(Ai)(V)（Aj）.若∞∑i=1(v)(Ai)=∞

10、，limn→∞n∑i=1(V)(Ai)/n∑i=1(v)(Ai)=a，則(v)(∞∩m=1∞∪i=mAi)≥1/Ka2.更一般條件下的容度的Borel-Cantelli引理.
　　 定理1.4.4設{Ai，i≥1｝是(F)中的一列事件，（(V)，(v)）是由次線性期望(E)誘導出的一對容度.
　　 (Ⅰ)若∞∑i=1(V)(Ai)＜∞，則(V)(∞∩m=1∞∩i=mAi)=0;
　　 (Ⅱ)設H是一任意實數(shù)，令α

11、H=liminfn→∞∑1≤i＜j≤n（(V)（AiAj）-H(V)(Ai)(V)(Aj))/(n∑i=1(v)(Ai))2.若∞∑i=1(v)(Ai)=∞,limn→∞n∑i=1(V)(Ai)/n∑i=1(v)(Ai)=a,則a2H+2αH≥1且(v)(∞∩m=1∞∪i=mAi)≥1/a2H+2αH.
　　 在第二章里，我們討論了倒向隨機微分方程的Lp解的問題.主要包括Lp空間和(H)1p過程空間中，生成元的表示定理;一定條件

12、下，倒向隨機微分方程的Lp解的存在唯一性定理.
　　 主要的結果有:
　　 定理2.3.3若1≤p'≤p;g滿足條件(A1)和(A2);b和σ滿足條件(H1)-(H3).則對任意(x，y，q)∈(R)n×(R)×(R)n，對幾乎所有的t∈[0,T[，下列兩式等價:
　　 (1)Lp'-g(t，y，σ*(t，x)q）+〈q，b(t，x)〉=limε→0+1/ε[Yt(g,t+ε,y+〈q,Xt,xt+ε-x)〉)-

13、y];
　　 (2)Lp'-g(t，y，σ*(t,x)q)=limε→0+E[1/ε∫t+εtg(u，y，σ*(t，x)q)du|(F)t].Lp空間上，生成元g的表示定理.
　　 定理2.3.7假設g滿足條件(A1)-(A4)，1≤p'＜p，則對任意（t，y，z）∈[0，T[×(R)×(R)d，有Lp'-g(t，y，z）=limε→01/ε[Yt（g，t+ε，y+〈z，（Bt+ε-Bt）〉）-y].(H)1p過程空間上

14、的極限定理.
　　 定理2.4.1設生成元g滿足條件(A1)和(A2).函數(shù)b和σ滿足條件(H1')和(H2')，則對(V)（x，y，q）∈(R)n×(R)×(R)'n，1≤p'≤p，下列等式成立(H)1p'-g(t，y，σ*(t，x)q+〈q,b(t，x)〉)=limn→∞n[Yt（g，tn，y+〈q，（Xt,xtn-x）〉）-y].且存在子列{nk｝∞k=1，使得dP×dt-a.s.，g(t，y，σ*(t，x)q+〈q，b(

15、t，x)〉)=limk→∞nk[Yt(g，tnk，y+〈q，（Xt,xtnk-x）〉）-y].(H)1p空間上，生成元g的表示定理.
　　 定理2.4.6假設生成元g滿足條件(A1)和(A2).則對(V)（y，z）∈(R)×(R)n，1≤p'≤p，下列等式成立(H)1p-g(t，y，z）=limn→∞n[Yt(g，tn,y+〈z，(Btn-Bt)〉)-y].進一步地，存在子列｛nk｝∞k=1，使得dP×dt-a.s.，g(t，y

16、，z)=limk→∞nkYt(g，tnk，y+〈z，(Btnk-Bt)〉）-y].具有一致Lipschitz連續(xù)系數(shù)的倒向隨機微分方程的Lp解的存在唯一性定理.
　　 定理2.5.4給定(ξ)∈Lp（Ω，(F)T，P;(R)k）.假設g滿足條件(B1)和(B2)，則倒向隨機微分方程(2.2.1)在(Bp)（0，T）中存在唯一的Lp解(Yt，Zt)t∈[0，T].
　　 一類無窮時間區(qū)間倒向隨機微分方程的Lp解的存在唯一性

17、定理.
　　 定理2.6.2給定(ξ)∈Lp（Ω，(F),P），假設g滿足條件(B3)-(B4)，則倒向隨機微分方程(2.2.1)在(B)p(0，∞)中存在唯一的Lp解（Yt，Zt）t∈[0，∞].
　　 在第三章里，我們采用Picard迭代，得到了一類由G-布朗運動驅動的倒向隨機微分方程解的存在唯一性定理.
　　 主要的結果有:
　　 定理3.3.1若函數(shù)f和g滿足條件(A1)-(A2)，則對任意(ξ)

18、∈L2G(ΩT;(R))，方程G-BSDE(3.3.1)存在唯一解(Yt)t∈[0，T]∈L2G（[0,T];(R）.
　　 在第四章里，我們通過更一般的比較定理，得到了一類非Lipschitz條件下的倒向重隨機微分方程解的存在定理.
　　 主要的結果有:
　　 定理4.3.1假設函數(shù)g滿足條件(H1)-(H2)，f滿足條件(H4)-(H5).給定(ζ)∈L2(Ω，(F)T，P;(R))，則倒向重隨機微分方程(4