2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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1、2線性空性空間與線性子空性子空間、、線性空間[線性運算]設(shè)F是一個域,其元素a,b,c,…作為數(shù)量;V是任一種類對象的集,其元素用希臘字母αβγ…表示.確定兩個運算法則:1oV中元素的加法.對V中任二元素α,β,總有唯一確定的元素γ與它們對應(yīng),稱為α與β之和,記作.βγ???2oF中的數(shù)量與V中元素的乘法.對F中任一數(shù)a與V中任一元α,總有唯一確定的元素δ與它們對應(yīng),稱為a與α的數(shù)乘,記作??a?這兩個運算法則稱為線性運算.[線性空間及

2、其性質(zhì)]設(shè)F是一個域,V是任一種類對象的集,若對線性運算滿足以下條件,則稱V為域F上的線性空間:(i)V是一個加法群;(ii)對任意元a∈F與α∈V,對應(yīng)著唯一確定的一個元Va????(iii)滿足分配律和結(jié)合律,即對有VFba????)()()()(?????????baabbabaaaa???????域F的元素稱為線性空間的數(shù)量,V的元素稱為它的矢量,因而線性空間又稱矢量空間.加法群的單位元稱為零矢量,記作0,(1)α是α∈V的逆元

3、,稱為負矢量.實數(shù)域上的線性空間稱為實線性空間;復數(shù)域上的線性空間稱為復線性空間.例1三維空間中的矢量全體組成一個實線性空間.例2數(shù)域F上的多項式環(huán)F[x],按照通常的多項式加法與多項式乘法,組成數(shù)域F上的線性空間.例3元素屬于數(shù)域F的mn矩陣,按照矩陣的加法和矩陣與數(shù)的乘法,組成數(shù)域F上的線性空間.例4按照通常的加法和乘法,實數(shù)全體是實數(shù)域R上的線性空間.復數(shù)全體是復數(shù)域C上的線性空間.任一域是用自己當作數(shù)量域的線性空間.例5把在一個

4、實區(qū)間(a,b)中定義的每個連續(xù)實函數(shù)當作一個元素,任意兩個元素f與g的和記作,是在中定義的一個連續(xù)實函數(shù),它在每一點x的值規(guī)定為gf?gf?)(ba)()())((xgxfxgf???又把一個元素f乘實數(shù)c所得到的元素規(guī)定為cfbxaxcfxcf???)())((則這些元素全體組成一個實線性空間.線性空間有以下性質(zhì):1o零矢量是唯一的.2o負矢量是唯一的.3o.FccV????0000??4o若則c=0或α=0.0?????cVFc[

5、線性相關(guān)與線性無關(guān)]域F上的線性空間V中一組有限個矢量如果對??n???21?僅當時等式Fcccn?21?021????nccc?02211????nnccc????才成立,則稱矢量組為線性無關(guān),否則稱為線性相關(guān).若矢量組??n???21???n???21?例如,三維空間中兩個不同平面(二維子空間)交于一條直線,由于,但,所以.422dimdim????TS3)dim(??TS1)dim(?TS?[子空間的直和]設(shè)是線性空間V的子空間,

6、若和中每個矢kSSS21?kSSS????21量α的分解式)21(21kiSiik?????????????是唯一的.這個和就稱為直和,記作kSSS????21子空間的直和具有以下性質(zhì):1o和是直和的充分必要條件是:kSSS????21)21(21kiSiik????????????0僅當全為零矢量時才成立.i?2o和是直和的充分必要條件是:kSSS????21Φ(空集)???ijjiSS?)21(ki??3o設(shè)是線性空間V的子空間,若

7、kSSS21?kSSSW?????21則kSSSWdimdimdimdim21?????其逆也真.這表明對于子空間的直和,維數(shù)是可加的.由此可見,若kSSSW?????21把子空間的基)21(kiSi??)(kiiinii??2121????合并起來就得到子空間W的一組基.[商空間]設(shè)S是V的一個子空間,并設(shè)兩個矢量,若,則說和V???S??????是等價的,記作.實際上,這個關(guān)系具有等價關(guān)系的三個性質(zhì):~??(i)反身性對每個,有;S

8、??~??(ii)對稱性若,則;~????~(iii)傳遞性若,,則.~??“~??“~??和集合的情形一樣,稱兩個等價的矢量和是屬于同一類.每個矢量恰好包含??V??在一個類中,這一類記作.V中的零矢量0包含在與子空間S重合的類中._?_0若把每個類作為一個元素,則這一切元素組成的集是一個線性空間,稱為V關(guān)于S的商空間,記作.商空間的零矢量是,且有SV_0SVSVdimdimdim??由此可見,若,則商空間的維數(shù)是零;又若S是零空間,

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