數(shù)學(xué)物理方法 線性空間

1、第二章 線性空間,,線性空間理論是線性泛函分析的重要組成部分。應(yīng)用線性泛函分析的方法可以把對許多數(shù)學(xué)問題的處理方法加以系統(tǒng)化，在更抽象的意義上理解初看來毫無關(guān)系的數(shù)學(xué)概念之間的本質(zhì)聯(lián)系。,1、 線性空間；2、 線性變換；3、 線性變換的本征值與本征向量；4、 內(nèi)積空間；5、 正交化法；6、 自伴算子；7、 等距變換；8、 正規(guī)變換的本征值與本征向量；9、 平方可積函數(shù)空間；10、完備正交歸一函數(shù)集；

2、11 、多項(xiàng)式逼近12 、完備正交歸一集的例子；13、 正交多項(xiàng)式,,第二章 線性空間,§ 2 線性空間,§ 2.1 線性空間,一、群,,它滿足以下三個(gè)公理：,§ 2 線性空間,§ 2.1 線性空間,,例：（1）整數(shù)的集合，以普通的加法做運(yùn)算，構(gòu)成Abel群。此時(shí)0是單位元素，n 和－n互為逆元素。 （2）二維旋轉(zhuǎn)矩陣,例：以上是滿足交換律的即Abel 群，有沒有不滿足交換律

3、的例子？,三維旋轉(zhuǎn)的集合是一個(gè)不可對易的連續(xù)群,先繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)90度，再繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)90度,先繞y軸轉(zhuǎn)動(dòng)90度，再繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)90度,,一樣？,§ 2 線性空間,§ 2.1 線性空間,,例：n個(gè)對象置換的集合。不滿足交換律，不是Abel群。 以n=3為例。該集合包含3！=6個(gè)元素，可以表示為,定義一個(gè)乘法“*”，其法則是兩個(gè)置換的乘積仍是一個(gè)置換，運(yùn)算由右至左連續(xù)施行兩次。,§ 2 線性空間,§

4、2.1 線性空間,,二、域,域是滿足以下三條公理的系統(tǒng)，記為,（1）系統(tǒng) 是一個(gè)具有單位元素0的Abel群；（2）設(shè) 是除 以外的所有 的集合， 則系統(tǒng) 是一個(gè)具有單位元素e的Abel群；（3）相對于＋，滿足分配率，即,§ 2 線性空間,§ 2.1 線性空間,,例：所有有理數(shù)集合

5、、實(shí)數(shù)集合、復(fù)數(shù)集合，相對于普通的加法和乘法都構(gòu)成了域。,有了域的概念我們可以定義線性空間,（1）在非空集合V內(nèi)的任一對元素間定義運(yùn)算（＋），使 構(gòu)成Abel群。(單位元素用0表示，x的逆元素用－x表示),結(jié)合律,交換律,零元素,負(fù)元素,滿足：,三、線性空間,§ 2 線性空間,§ 2.1 線性空間,,則稱V是數(shù)域F上的線性空間（向量空間），記為V(F)。,（以上8個(gè)公式為線性空間

6、的8個(gè)公理）,（2）在數(shù)域F中的數(shù)與V中的元素之間定義一個(gè)純量乘法運(yùn)算，對F中任意數(shù) 與V中任一元素 ,都可由該運(yùn)算唯一決定V中的一個(gè)元素y, 記為 ,數(shù)乘滿足：,左分配律,右分配律,結(jié)合律,數(shù)1的數(shù)乘,§ 2 線性空間,§ 2.1 線性空間,,例：n維向量空間的定義：是一個(gè)以n重有序數(shù)為元素構(gòu)成的集合，其中 ，定義向量加法,其中：,向

7、量數(shù)乘：,零向量：,的逆元：,可以證明，這個(gè)n維向量空間是一個(gè)線性空間，記為,例：所有的復(fù)數(shù)的集合也是一個(gè)復(fù)線性空間。,§ 2 線性空間,§ 2.1 線性空間,,§ 2 線性空間,§ 2.1 線性空間,,§ 2 線性空間,§ 2.1 線性空間,,對于線性空間 有以下定理存在：定理1：（1）當(dāng)y和z已知時(shí)，方程

8、 有唯一解x（2）如果 ，則（3）對每一個(gè)（4）對每一個(gè)（5）如果 ，則 或定理2：若把 定義為x和y之差，則有,§ 2 線性空間,§ 2.1 線性空間,,設(shè)V是F上的線性空間，如果（即 是V中的某些向量的集合），且滿足：（1）對任意的

9、（2）對任意的則稱 是V的線性子空間。定理：在V(F)中任取一組向量 ，這組向量的所有線性組合的集合 是V的一個(gè)子空間。并稱這個(gè)子空間是由向量集合 所張成（生成）的子空間。,四、線性子空間,§ 2 線性空間,§ 2.1 線性空間,,§

10、 2 線性空間,§ 2.1 線性空間,,§ 2 線性空間,§ 2.1 線性空間,,五、線性空間的基與維數(shù)基：指線性空間V中的最大線性無關(guān)的子集。V中的任一向量均可由這個(gè)子集中的向量的線性組合表示。維數(shù)：基中所含的向量的數(shù)目，稱為空間的維數(shù)。,例：實(shí)三維空間中的三個(gè)向量組成一組基,因?yàn)樗鼈兪蔷€性無關(guān)的且任意向量x均可表示成這三個(gè)向量的線性組合,§ 2 線性空間,§ 2.1 線性空間,,

11、§ 2 線性空間,§ 2.1 線性空間,,解：在 中設(shè)有 階矩陣 ，其中位于 的元素為1，其他元素為0。如 ，容易證明 是 的一組基，且線性無關(guān)，任何矩陣

12、 均可由它們線性表示。所以又由于 ，所以A在該基下的坐標(biāo)為：,例： 寫出實(shí)數(shù)域R上矩陣空間 的一組基，求 ， 并求在此基下的坐標(biāo)。,六、線性空間的同構(gòu) （A）映射的定義：設(shè)S1和S2是兩個(gè)

13、非空集合，如果按照一定的法則f ，對于S1中的每個(gè)元素x，都存在S2中的一個(gè)確定的元素y與之對應(yīng)，則稱f為定義在S1上取值于S2中的一個(gè)映射，記為 ，y稱為x在映射 f 下的像。,S1：,§ 2 線性空間,§ 2.1 線性空間,,f,S2,x,y,集S1稱為映射f的定義域,集S2稱為映射f 的值域,,映射的種類：,滿射、單射、雙射,（B）線性空間的同構(gòu) 設(shè)S=｛E, *

14、｝和S′= ｛E′ , ·｝是分別具有封閉運(yùn)算*和·的代數(shù)系統(tǒng)，假設(shè)f是一個(gè)從E到E′ 的雙射，即一一映射，它給每個(gè)屬于E的元a，b，c， … ∈ E，都有指定的屬于E′ 的元，f（a）， f（b）， f（c） ， … ∈ E ′ ，與之對應(yīng),§ 2 線性空間,§ 2.1 線性空間,,E：,f,E′,f(a),設(shè)a*b=c，則c f（c）=f（a*b）同構(gòu)即要求,,a,f(b),b,f

15、,若a*b=c 則 f（a）· f（b）=f（c）,線性空間同構(gòu)的判定方法： 設(shè)U和V是同一數(shù)域F上的兩個(gè)線性空間，f是從U到V的一個(gè)映射，如果:（1）f是一個(gè)雙射；（2）f是一個(gè)線性映射，即則稱f是U到V的同構(gòu)映射，并說U與V同構(gòu)。定理：域F上每一個(gè)n維線性空間都和空間 同構(gòu)。,（即同一域上的同維數(shù)的任何兩個(gè)線性空間是同構(gòu)的。）,§ 2 線性空間,§

16、2.1 線性空間,,§ 2 線性空間,§ 2.1 線性空間,,同構(gòu)的意義：　　 在線性空間的抽象討論中，無論構(gòu)成線性空間的元素是什么，其中的運(yùn)算是如何定義的，我們所關(guān)心的只是這些運(yùn)算的代數(shù)性質(zhì)。從這個(gè)意義上可以說，同構(gòu)的線性空間是可以不加區(qū)別的，而有限維線性空間唯一本質(zhì)的特征就是它的維數(shù)。 同構(gòu)映射不僅能使兩系統(tǒng)中的元素保持一一對應(yīng)的關(guān)系，而且還要求這種對應(yīng)關(guān)系在各自的運(yùn)算下仍保持著

17、，即x*y=z f（x）· f（y）=f（z）,§ 2 線性空間,§ 2.1 線性空間,,例：兩個(gè)同構(gòu)系統(tǒng)初看起來可能會(huì)很不相同。例如前面討論的三元素置換群與下述6個(gè)2X2矩陣相對矩陣乘法構(gòu)成的群是同構(gòu)的。,例如AXB=F，,從右向左：把1換為3，再把3換為3， 1 3 3, 2 2 13 1 2

18、，所以 對應(yīng)剛好是置換F。,§ 2 線性空間,§ 2.1 線性空間,,而A ′ XB ′ =F ′ ，,剛好是置換F ′ 。,一般來說，如果兩個(gè)系統(tǒng)具有相同的乘法表，這兩個(gè)系統(tǒng)便是同構(gòu)的，或結(jié)構(gòu)等同的。,定義：指在線性空間V(F)中變換A, 對每一個(gè)有確定的向量 ，且對任意的有則稱A為線性變換也稱線性算子。式中a，b

19、為標(biāo)量,§ 2 線性空間,§ 2.2 線性變換,,一、線性變換的定義,線性變換舉例：零變換和單位變換是特殊的線性變換。,即零變換把空間的任意向量變換成空間的零向量，而單位變換是把任意向量變換成自身的線性變換。,,§ 2.2 線性變換,證明：,滿足線性變換定義，得證。,§ 2 線性空間,,例： 設(shè) 是 空間的一個(gè)給定的單位向量，對于空間任一向量 ，若變換

20、 的定義為則 是一個(gè)線性變換。,§ 2.2 線性變換,§ 2 線性空間,,§ 2.2 線性變換,§ 2 線性空間,,§ 2.2 線性變換,二、基本運(yùn)算：,（1）變換加法：（2）變換數(shù)乘：（3）變換乘法：,其中 是線性變換， 是線性空間V中的向量。,說明：（1）線性變換相乘一般不服從交換律。 （2）滿足

21、下述運(yùn)算性質(zhì),§ 2 線性空間,,三、線性變換的逆變換：,如果線性變換A滿足：（1）（2）則存在A的逆變換，記為 ，稱A是可逆的。且,可逆性的判定定理：,§ 2.2 線性變換,§ 2 線性空間,,四、線性變換的矩陣表示：,于是，當(dāng) 已知時(shí) 即可完全確定。,定理1：設(shè)

22、是線性空間 的一組基，A是上的一個(gè)線性變換，只要給出 的像向量 ，則A完全確定。,證明：只要證明對 中任一向量 ，其像向量 唯一確定即可。由于 是基，對 有,§ 2.2 線性變換,

23、67; 2 線性空間,,定理2：設(shè) 是 的一組基，是 中的任意n個(gè)向量，則存在唯一的線性變換A，使,定理3：有限維空間上的線性變換（稱此空間可分的），當(dāng)選擇一組基后，便與一個(gè)確定的矩陣相對應(yīng)。反之，在固定基下，每一個(gè)矩陣對應(yīng)一個(gè)確定的線性變換。,即線性變換與相應(yīng)矩陣同構(gòu)，使得線性變換的運(yùn)算與矩陣的相關(guān)運(yùn)算法則對應(yīng),§ 2.2 線性變換,§ 2 線性

24、空間,,例：求F[x]n的求導(dǎo)變換，在基1，x，x2，…,xn-1下的矩陣。,解：因?yàn)?即所求矩陣。在取定一組基后，線性變換與相應(yīng)矩陣是一一對應(yīng)的關(guān)系。,§ 2.2 線性變換,§ 2 線性空間,,所以,定理4：同一線性變換在不同基下對應(yīng)的矩陣是相似的。 即：若存在可逆矩陣A，使矩陣B和C滿足則稱B和C是相似矩陣。記,矩陣的相似是一種等價(jià)關(guān)系，具有：,§ 2.2 線性變換,

25、§ 2 線性空間,,例： 設(shè)A是一個(gè)實(shí)三維空間上的旋轉(zhuǎn)變換，它把空間任一矢量 繞 軸右旋一個(gè)角度 ,求此變換在Cartesian基下的矩陣。,解：這里我們用 表示直角坐標(biāo)系中的三個(gè)單位矢量，即實(shí)三維空間的一組基。,§ 2.2 線性變換,§ 2 線性空間,,因此變換A在基 下的矩陣表示為,根據(jù)A的定義：,定義：設(shè)

26、A是V(F)上的線性變換，如果則稱 為A的本征值， 為A的屬于 的本征向量。,上述條件也可以表示為：,不妨設(shè)有限維空間的基 , x可表示為：,又設(shè)A在此基下的矩陣為 ，則有,§ 2.3 線性變換的本征值與本征向量,§ 2 線性空間,,即：,有非零解的條件是：,上式左邊的行列式是 的n次多項(xiàng)式。在復(fù)數(shù)域上有n個(gè)零點(diǎn)，

27、即n維空間上的任何線性變換在復(fù)數(shù)域上必有n個(gè)本征值。另外，由于 ， 的秩必然小于n，所以每個(gè)本征值至少對應(yīng)一個(gè)本征向量。注意，本征值和本征向量與基的選擇無關(guān)。,§ 2.3 線性變換的本征值與本征向量,§ 2 線性空間,,(1)線性變換A的本征值的集合稱為A的譜，其中本征值的模的最大值稱為譜半徑。(2)若 是A的本征多項(xiàng)式的k級(jí)零點(diǎn)

28、，則說該本征值 的代數(shù)重?cái)?shù)為k。當(dāng) 時(shí)稱A的譜是簡并的。(3)如果變換A有n個(gè)線性無關(guān)的本征向量（n為空間維數(shù)），則它的矩陣一定可以通過相似變換對角化，且對角元素為A的本征值。,說明：,注意：定理給出A的本征值不同是相應(yīng)的本征向量線性無關(guān)的充分條件，并非必要條件。,定理：設(shè) 是線性變換A的兩兩相異的本征值，則相應(yīng)地本征向量 線

29、性無關(guān)。,§ 2.3 線性變換的本征值與本征向量,§ 2 線性空間,,例： 下列矩陣是否與對角矩陣相似,解：,（1）,屬于特征值 的與線性無關(guān)的特征向量有兩個(gè)，因?yàn)榇藭r(shí),§ 2.3 線性變換的本征值與本征向量,§ 2 線性空間,,秩：,，與線性無關(guān)的特征向量有3－1＝2個(gè),因此A一定可以與對角陣 相似。,秩

30、： ，因此屬于 的線性無關(guān)的特征向量只有,（2）,特征值分別為：,具有三不同的特征值即3個(gè)不同的本征向量，必有相似的對角矩陣。,§ 2.3 線性變換的本征值與本征向量,§ 2 線性空間,,（3）,三個(gè)特征值,對 有,從而A一定不能與對角陣相似。,在實(shí)三維空間，

31、普通向量的長度和兩向量的夾角是通過標(biāo)積定義的，如果 則：,x 的長度,的夾角,作為標(biāo)積的推廣，可以引入內(nèi)積的概念。,§ 2.4 內(nèi)積空間,§ 2 線性空間,,兩個(gè)向量的標(biāo)積,§ 2.4 內(nèi)積空間,一、內(nèi)積的定義,對于線性空間V(F)內(nèi)任一對有序向量 都有域F內(nèi)的一個(gè)確定的數(shù)與之對應(yīng)，記為

32、 ，其對應(yīng)規(guī)則滿足以下三個(gè)條件：,定義了內(nèi)積的線性空間稱為內(nèi)積空間。F 是實(shí)數(shù)域?yàn)閷?shí)內(nèi)積空間（歐幾里得空間），復(fù)數(shù)域?yàn)橛峡臻g。,說明: 1、對實(shí)內(nèi)積空間， 不起作用，可以略去。不論實(shí)內(nèi)積空間還是復(fù)內(nèi)積空間，條件(1)意味著任何向量與自身的內(nèi)積總是實(shí)數(shù)，從而保證了條件(3)不等式有意義。2、在同一線性空間，可以按照多種形式定義內(nèi)積空間，只要滿足內(nèi)積公理。,§ 2 線性空間,,內(nèi)積公理,二、向量范數(shù)、內(nèi)積和

33、范數(shù)的性質(zhì)：,（1）范數(shù)定義：即向量的長度，記為,（2）內(nèi)積和范數(shù)的性質(zhì),定理1：在任何內(nèi)積空間，有,§ 2.4 內(nèi)積空間,§ 2 線性空間,,證明: (1) 由內(nèi)積公理第一條知,由內(nèi)積公理的第三條得x－y＝0，即x＝y(tǒng)。其他證明類似。,§ 2.4 內(nèi)積空間,§ 2 線性空間,,(由第二條),(由第一條),(2) 如對任意的z，(x, z)＝(y, z)成立，則,(x－ y, z)＝0 (

34、對所有的z),取z＝x－y (由于z的任意性)得,(x－ y, x－ y)＝0,定理2：（施瓦茲Schwartz不等式）若x,y是復(fù)內(nèi)積空間中的任一對向量，則,定理3： （三角不等式）在任何內(nèi)積空間，對任意向量x,y均有,證明略。,柯西－許瓦茲不等式,§ 2.4 內(nèi)積空間,§ 2 線性空間,,注意：上等化為等式當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)成立。這等價(jià)于x, y中有一個(gè)零向

35、量，或者y＝kx ，k >0,三、正交性和完備性,定義：（1）當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，稱x與y正交。（2）設(shè) 是一個(gè)向量集合，如果對所有的 滿足則稱該集合是正交歸一集。（3）在有限維空間中，如果一個(gè)正交歸一集不含于任何一個(gè)更大的正交歸一集中，則該正交歸一集被說成是完備的正交歸一集。,&

36、#167; 2.4 內(nèi)積空間,§ 2 線性空間,,定理1：正交歸一集是線性無關(guān)集。（即在n維空間中的任何n個(gè)向量的正交歸一集都可以作為該空間的基）定理2：（Bessel不等式）設(shè) 是內(nèi)積空間任一有限正交歸一集，x為空間任一向量，則,其中， 。且 與

37、每一個(gè) 正交。,§ 2.4 內(nèi)積空間,§ 2 線性空間,,以下幾種有關(guān)有限維內(nèi)積空間的正交歸一集完備性的說法等價(jià)：,定理3： 設(shè) 是內(nèi)積空間V的m個(gè)向量組成的正交歸一集，則下述關(guān)于X的說法彼此等價(jià)：,Parseval 等式,§ 2.4 內(nèi)積空間,§ 2 線性空間,,,一、度量矩陣,對一個(gè)n維

38、空間Vn，要定義內(nèi)積（x, y），只要確定一組基間的內(nèi)積就可以了。設(shè) 是一組基，則,上式中的矩陣 由各基向量間的內(nèi)積決定，稱為在 基 下的度量矩陣。,§ 2.5 正交法化,§ 2 線性空間,,說明：（1）度量矩陣是厄米正定矩陣。因?yàn)闈M足 （2）度量矩陣在實(shí)空

39、間是個(gè)正定矩陣。（3）度量矩陣與基的選擇有關(guān)。最簡單的度量矩陣就是單位矩陣，對應(yīng)的基就是正交歸一基。即度量矩陣可以通過選擇一組正交歸一基轉(zhuǎn)化為單位矩陣。（4）定義正交歸一基的方法：葛蘭姆－施密特正交化方法。,（正定），在實(shí)空間是對稱矩陣。,（厄米）,§ 2.5 正交法化,§ 2 線性空間,,,二、葛蘭姆－施密特(G-S)正交化方法,設(shè) 是Vn中的任

40、一組基，利用G-S方法建立正交歸一基 的方法是：,（1）因?yàn)?，否則X不會(huì)是線性無關(guān)集，故可命：,則 是一個(gè)歸一向量。,（2）令,即 是 的線性組合則,故：,故令,得 ，類似地，我們可以得到,§ 2.5 正交法化,§ 2 線性空間,,例：設(shè) 空間中的一組基

41、：,求：由此基確定的一組正交歸一基。,解：,因?yàn)椋?§ 2.5 正交法化,§ 2 線性空間,,類似地，,可見 正交，即所求。,§ 2.5 正交法化,§ 2 線性空間,,定義： 已知A是內(nèi)積空間上的線性變換，如果對任意的 ，變換 滿足則稱 為A的伴隨算子。 幾點(diǎn)說明：

42、 （1）對給定的線性算子，其相應(yīng)的伴隨算子是唯一的，且是線性的。,一、 伴隨算子,是A的轉(zhuǎn)置共軛矩陣。,§ 2 線性空間,§ 2.6 自伴算子,,（2） A和 在同一基下的矩陣間的關(guān)系,設(shè) 是內(nèi)積空間 的基，A在該基下的矩陣為 ， 是內(nèi)積空

43、間在該基下的度量矩陣。A的伴隨變換在該基下對應(yīng)矩陣為 ，則有,注意到度量矩陣的厄米性，有 ，它還是正定矩陣，其逆矩陣存在，因此,§ 2 線性空間,§ 2.6 自伴算子,,（3）在正交基下，G是單位矩陣，則有,即伴隨變換在任意正交歸一基下相應(yīng)的矩陣是變換在此基下的矩陣的共軛轉(zhuǎn)置矩陣。（4）關(guān)于伴隨矩陣的運(yùn)算性質(zhì),,§ 2 線性空間,§ 2.6 自伴算子,,二、

44、自伴算子,在實(shí)內(nèi)積空間中自伴算子稱對稱算子，在復(fù)內(nèi)積空間中自伴算子稱為厄米算子。在正交歸一基下，對稱算子對應(yīng)的矩陣是對稱矩陣，厄米算子對應(yīng)矩陣是厄米矩陣。,2、性質(zhì)： （1）設(shè)A、B是自伴算子，則A＋B也是自伴算子。（2）A、B自伴，一般不能保證AB自伴，當(dāng)且僅當(dāng)AB=BA時(shí)， A、B的自伴保證AB自伴。（3）若A自伴，則當(dāng)且僅當(dāng) 是實(shí)數(shù)時(shí)， 自伴。,§ 2 線性空間,§ 2.6 自伴算子

45、,,3、判定定理： 定理1： 若A是實(shí)內(nèi)積空間上的自伴算子，則對任意的 ，有 的充要條件是,證明：充分性： 因?yàn)?時(shí) 必要性：,注意到A是實(shí)內(nèi)積空間的自伴算子，由定義有,考察下面內(nèi)積：,所以,如果內(nèi)積空間是復(fù)的，上述定理可以加強(qiáng),§ 2 線性空間,§ 2.6 自伴算子,,,,定理2： 若A是酉空間上的線性

46、變換，則對所有的 ， 的充要條件是 。,即若A是內(nèi)積空間中的自伴變換，（不論是實(shí)空間還是復(fù)空間）對所有 ， 的充要條件是 .,定理3： 設(shè)A是酉空間的線性變換，則對所有 ， 為實(shí)數(shù)的充要條件是A為厄米變換。,定理4：

47、厄米變換的本征值是實(shí)的。,證明：,即對厄米變換 總是實(shí)的。,由定理3 結(jié)論得證,§ 2 線性空間,§ 2.6 自伴算子,,例： 給定 g (x),求在區(qū)間 中滿足,解：這是一個(gè)邊值問題，對它算子為 在區(qū)間內(nèi)，所有函數(shù)g的空間是L的值域。L的定義域在該區(qū)間內(nèi)函數(shù)f的空間。這些函數(shù)滿足邊界條件，且在L的值域內(nèi)具有

48、二階導(dǎo)數(shù)。如無適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，則方程的解不惟一，即，要由微分算子及其定義域兩者來確定算子。,的 f (x)。并求該微分算子的伴隨算子。,適用于此問題的一個(gè)內(nèi)積是,§ 2 線性空間,§ 2.6 自伴算子,,注意內(nèi)積的規(guī)定不惟一，在上式的積分中加上w(x)>0的權(quán)重?cái)?shù)也是可采用的內(nèi)積。但是伴隨算子依賴于內(nèi)積，因此可以選定內(nèi)積，使其成為自伴算子。根據(jù)定義，先構(gòu)造伴隨算子的左邊，有,最后兩項(xiàng)是邊界項(xiàng)，可以選擇

49、 的定義域使它們?yōu)榱恪Ｓ蛇吔鐥l件知，,§ 2 線性空間,§ 2.6 自伴算子,,則第二個(gè)邊界項(xiàng)也為零。顯然，對于由式確定的內(nèi)積，從伴隨算子的定義式知， 的伴隨算子為：,§ 2 線性空間,§ 2.6 自伴算子,,因?yàn)?，且 的定義域與L的定義域相同，所以算子是自伴的。因?yàn)楫?dāng) f 是實(shí)數(shù)時(shí)，Lf 也是實(shí)數(shù)，L是實(shí)算子，可以證明，

50、由,知算子L也是正定算子。即使 f 是復(fù)數(shù)，L也是正定算子*。,所謂正定算子是指,§ 2 線性空間,§ 2.6 自伴算子,,則算子為正定的。上式中的大于換成大于等于則算子是半正定的。若換為小于則算子為負(fù)定的。,*正定算子當(dāng)給出一個(gè)形式為L (f) =g 的問題。,解的特性依賴于算子的特性，如果f是實(shí)數(shù),Lf 也是實(shí)數(shù)，則算子為實(shí)算子。,§ 2 線性空間,§ 2.6 自伴算子,,的逆算子可以由

51、標(biāo)準(zhǔn)的格林函數(shù)法得到，它是,式中G是格林函數(shù)，即,構(gòu)成,后，微分兩次便可以得到,(1),這樣就證明了式(1)是逆算子。注意到在,的定義域中不需要,邊界條件，這是大多數(shù)積分算子的共同特點(diǎn)。從L是自伴的證明同樣可以得出 也是自伴的。類似的也可以得出，只要L是正定的， 也是正定的。,例：量子力學(xué)中簡諧振子的哈密頓算子為：,§ 2 線性空間,§ 2.6 自伴算子,,證明它的本征值是正的。,,

52、證明：令,其中本征向量u是歸一化的，即,因?yàn)閜和x均是厄米的，故,定義： 設(shè)U是內(nèi)積空間上的線性變換， 為U的伴隨變換，如果 則稱U為等距變換。若同時(shí)滿足則稱它為酉變換或么正變換。在有限維空間，變換有左逆必有右逆，因此等距與么正是等價(jià)的，么正變換的逆變換是它的伴隨變換，即,（單位變換）,§ 2 線性空間,§ 2.7 等距變換,,一、等距變換的定義,二、等距變換的特性,

53、定理1、 設(shè)U是內(nèi)積空間上的線性變換，則下列三個(gè)條件是彼此等價(jià)的，每一個(gè)都可以作為等距變換的定義：,定理2、對有限維內(nèi)積空間，一個(gè)完備正交歸一集 ，經(jīng)等距變換后的集合 仍是完備的正交歸一集。,可見等距變換把一組正交歸一基變換成另一組正交歸一基。,§ 2 線性空間,§ 2.7 等距變換,,由于一個(gè)變換A的伴隨變換在正交歸一基下對應(yīng)的矩陣是A在同一基下對應(yīng)矩陣的共軛轉(zhuǎn)置，故等距變換在

54、正交歸一基下對應(yīng)的矩陣也滿足等距變換和酉變換的定義式，即，把滿足該式的矩陣U稱為酉矩陣。因此，在有限維空間酉變換的等價(jià)定義是： 如果內(nèi)積空間上的線性變換A在任一正交歸一基下對應(yīng)的矩陣都是酉矩陣，便稱它為酉變換。,§ 2 線性空間,§ 2.7 等距變換,,三、酉矩陣和酉變換,顯然實(shí)內(nèi)積空間上的酉變換就是正交變換。但是在復(fù)內(nèi)積空間，兩者是不一致的，酉變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是酉矩陣。,定義2： 設(shè)線性變

55、換A在正交歸一基下對應(yīng)的矩陣為 ，如果即 的轉(zhuǎn)置矩陣等于其逆矩陣，則說變換A是正交變換。,§ 2 線性空間,§ 2.7 等距變換,,四、正交變換,定義：當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，稱A為正規(guī)變換（或法式變換）,顯然，所有的自伴變換、反自伴變換和酉變換都是正規(guī)變換。正規(guī)變換在正交基下對應(yīng)的矩陣 滿足

56、這樣的矩陣稱為正規(guī)矩陣。,§ 2 線性空間,§ 2.8 正規(guī)變換的本征值與本征向量,,一、正規(guī)變換的定義,證明：設(shè) 和 分別為自伴變換A的任一本征值和相應(yīng)的本征向量，則即 ，所以 為實(shí)數(shù)。同理，對反自伴變換，可證 ，即 為虛數(shù)。對等距變換，,二、本征值特性：（1）自伴變換的本征值為實(shí)數(shù)。（2）等距變換的

57、本征值的模為1。（3）反自伴變換的本征值為純虛數(shù)。,§ 2 線性空間,§ 2.8 正規(guī)變換的本征值與本征向量,,,本征向量,本征值,三、本征向量特性,定理：如果A是正規(guī)的線性變換，則屬于不同本征值的本征向量是正交的?？梢宰C明：若 x 是正規(guī)變換的本征向量， 是相應(yīng)的本征值，則x也是其伴隨變換的本征向量，對應(yīng)的本征值為反之亦然。,§ 2 線性空間,§ 2.8 正規(guī)變換的本征值與本征向量,,

58、若A正規(guī)時(shí)，有,顯然當(dāng)A正規(guī)， 也正規(guī)，將A換成 ，即,設(shè) 分別是 A 是屬于 的本征向量 ，則,§ 2 線性空間,§ 2.8 正規(guī)變換的本征值與本征向量,,即,若,則必有,由該定理知，n維空間的正規(guī)變換，如果具有n個(gè)相異的本征值，則相應(yīng)本征向量的集合是一個(gè)正交集，且是完備的。,四、正規(guī)矩陣對角化,若A是一個(gè)具有非

59、簡并譜的正規(guī)矩陣，則必存在酉矩陣U，使A通過酉相似變換對角化。即,其中D是以A的n個(gè)本征值為對角元素構(gòu)成的對角陣。,事實(shí)上，因?yàn)閚個(gè)不同本征值對應(yīng)n個(gè)本征向量是正交的，如果將這些向量歸一化，以它們?yōu)榱袠?gòu)成矩陣，則一定是一個(gè)酉矩陣，那么一定會(huì)有AU=UD，由于酉矩陣的逆存在，則一定有上式成立。,§ 2 線性空間,§ 2.8 正規(guī)變換的本征值與本征向量,,定理1、 對任何厄米矩陣H，都存在酉矩陣U，使其中D是對角陣。

60、本定理說明，n維空間的厄米算子總存在n個(gè)正交歸一的本征向量，因而它的本征向量集合能張成空間。定理2、一個(gè)矩陣A當(dāng)且僅當(dāng)它是正規(guī)矩陣時(shí)，可以用酉相似變換對角化。定理說明在正規(guī)算子的本征向量的集合中存在空間的正交歸一基。,§ 2 線性空間,§ 2.8 正規(guī)變換的本征值與本征向量,,設(shè) 是中的元素是定義在閉區(qū)間[a,b]上實(shí)變量x的復(fù)值函數(shù)，且滿足勒貝格意義上的平方可積關(guān)系即

61、 存在且有限，在此集合上定義：兩個(gè)向量的加法為：復(fù)數(shù) 與向量的乘法為：則該集合構(gòu)成一線性空間，稱平方可積函數(shù)空間。,二、平方可積函數(shù)空間中內(nèi)積和范數(shù)的定義：,§ 2 線性空間,§ 2.9 平方可積函數(shù)空間,,一、平方可積函數(shù)空間的定義,,定義2、 內(nèi)積空間上的柯西序列指這樣一個(gè)向量序列 ，對任意給定的 ，存在N，使得當(dāng)

62、 時(shí),§ 2 線性空間,§ 2.9 平方可積函數(shù)空間,,三、平方可積函數(shù)空間的特性,注意：每一收斂序列都是柯西序列，但是柯西序列并不一定是收斂序列。,定義1 收斂序列的定義是：設(shè) 是內(nèi)積空間的向量序列，若對任意給定的 ，存在N，使得當(dāng) 時(shí)， 則稱 收斂于

63、 ,記 。,定義3、 其中每一個(gè)柯西序列都收斂的內(nèi)積空間稱為完備的內(nèi)積空間，也稱為Hilbert空間。也就是說，在完備的內(nèi)積空間中，如果 ，則空間存在 使 。平方可積函數(shù)空間具有完備性，記 ，就是一個(gè)Hilbert空間。在Hi

64、lbert空間中，函數(shù)的正交性、歸一性和集合的概念都和以前的定義一樣。若,則稱該函數(shù)集合是正交歸一的。,我們的問題是：（1）什么樣的函數(shù)集在H空間中起基函數(shù)作用；（2）對任一函數(shù)，如何用基函數(shù)精確逼近它？為此引入,§ 2 線性空間,§ 2.9 平方可積函數(shù)空間,,在有限維向量空間，任一向量可以表示成基向量的線性組合，在希爾伯特空間，相應(yīng)的問題就是將函數(shù)表示成給定函數(shù)組的線性組合。（如廣義傅立葉級(jí)數(shù)展開問題）顯然，首先

65、需要確定H空間的正交歸一集的完備性問題。,一、完備正交歸一函數(shù)集的定義,定義：設(shè) 是H空間一正交歸一集，如果對空間任一函數(shù) ，總有一組系數(shù) ，使得部分和序列平均收斂于 ，則稱 是完備的正交歸一集。,也就是說H空間中集合的完備性是以集中元素的線性組合可以平均逼近任意函數(shù)來定義的。,§ 2 線性空間,§ 2.10

66、 完備的正交歸一函數(shù)集,,二、展開系數(shù) 設(shè) 是H空間完備的正交歸一集，則對空間任一函數(shù) ，存在系數(shù) 使得當(dāng) 時(shí)，部分和序列 平均收斂于 ，即其中收斂系數(shù)為,只要 是完備的正交歸一集，上式就成立。討論以上的展開系數(shù)，可以得到貝塞爾不等式,§ 2 線性空間,§ 2.10 完備的

67、正交歸一函數(shù)集,,三、貝塞爾不等式,對所有的n有,稱此式為Bessel不等式。當(dāng)且僅當(dāng) 完備時(shí)，取等號(hào)：,稱此為完備性關(guān)系式。若 是完備正交歸一集時(shí)，對任意的 有,以上兩個(gè)等式均為完備的等價(jià)描述,§ 2 線性空間,§ 2.10 完備的正交歸一函數(shù)集,,四、封閉性與完備性一致,定義：設(shè) 是正交歸一函數(shù)集，若不存在與集中每個(gè) 都正交的非零函數(shù)，則稱

68、 是封閉的正交歸一集。,注意：在有限維空間中，n個(gè)向量的完備集的定義是不存在與集中每個(gè)向量都正交的非零向量。實(shí)際上，這個(gè)結(jié)論對無限維也適用，即正交歸一函數(shù)集的封閉性和完備性等價(jià)，即一個(gè)封閉的函數(shù)集，就可以作為空間的一個(gè)基。,定理：H空間中的正交歸一集當(dāng)且僅當(dāng)它是封閉的，則它是完備的。,那么，在閉區(qū)間[a,b]上存在一個(gè)完備的正交歸一函數(shù)集，則[a,b]上任一平方可積函數(shù)均可用集中函數(shù)的線性組合來平均逼近。,§ 2

69、 線性空間,§ 2.10 完備的正交歸一函數(shù)集,,定理1： （Weierstrass多項(xiàng)式逼近定理）如果 在[a,b]上連續(xù)，則存在一多項(xiàng)式序列 ，在[a,b]上一致收斂于 ，即其中,由 確定。,維氏定理說明冪函數(shù)系 構(gòu)成

70、 空間的完備系，（但不正交和歸一）， 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)都可以用多項(xiàng)式一致逼近。,§ 2 線性空間,§ 2.11 多項(xiàng)式逼近,,狄拉克函數(shù)1.工程上的定義：,由 確定。,§ 2 線性空間,§ 2.11 多項(xiàng)式逼近,,2.以另一函數(shù)序列形式的定義：,其中常數(shù),因此通過選擇,的方法保證,因此有,定理2： 設(shè)集合

71、 （其中 是x的i 次多項(xiàng)式）是區(qū)間[a,b]上的正交歸一的多項(xiàng)式集合，則它是完備的正交歸一集。證明略,說明：（1） 的完備性表明，對H空間的任一函數(shù)均可用 做基函數(shù)展開，展開系數(shù)為 。展開式平均收斂于 。（2）[a,b]上正交歸一多項(xiàng)式集是唯一的，最多只差

72、一個(gè)相因子 。（3）[a,b]上正交歸一多項(xiàng)式集的構(gòu)成 是線性無關(guān)的集合，可以利用葛蘭姆－施密特正交法化構(gòu)成。,§ 2 線性空間,§ 2.11 多項(xiàng)式逼近,,§ 2 線性空間,§ 2.11 多項(xiàng)式逼近,,其中,（1）勒讓德多項(xiàng)式,利用G-S正交法化方法，可以將冪函數(shù)集