若干非線性數(shù)學(xué)物理問題的解析和數(shù)值研究.pdf

1、在線性理論日臻完善的今天,非線性數(shù)學(xué)物理問題愈發(fā)為科學(xué)家所關(guān)注。無論是基礎(chǔ)科學(xué)還是工程技術(shù)領(lǐng)域,研究者面對的大多是復(fù)雜的非線性問題。如何處理這些問題是對數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的重大挑戰(zhàn)。本論文的主要工作沿兩條線索展開:一方面,充分利用一些現(xiàn)有的數(shù)學(xué)工具研究幾個重要的非線性模型,得到一些新穎的結(jié)果；另一方面,根據(jù)對一些已有嚴(yán)格解方法和近似方法的總結(jié)和反思,提出一種研究非線性數(shù)學(xué)物理問題的新型近似方法。
　　 本文第一章作為緒論部分概括地

2、介紹了非線性科學(xué)的內(nèi)涵、意義和研究現(xiàn)狀,重點(diǎn)介紹了本論文涉及的一些非線性問題和非線性方程的數(shù)學(xué)及物理背景,概述了研究非線性數(shù)學(xué)物理問題的主要數(shù)學(xué)工具及其發(fā)展歷程,同時闡明了本論文的主要工作。
　　 第二章從流體力學(xué)的基本模型β面上的無輻散正壓位渦方程出發(fā),推導(dǎo)出變系數(shù)KdV方程及變系數(shù)mKdV方程；從另一個研究分層流體的基本方程二層流體模型出發(fā),推導(dǎo)出耦合變系數(shù)mKdV方程,然后通過構(gòu)造這些變系數(shù)方程的嚴(yán)格解充分闡釋了大氣系統(tǒng)中

3、一種重要的非線性現(xiàn)象--大氣阻塞產(chǎn)生、發(fā)展和衰減的動力學(xué)機(jī)理。在這一章里,基于多重尺度展開法,我們提出了一個新的推導(dǎo)變系數(shù)近似方程的系統(tǒng)方法。同時,為了嚴(yán)格求解推導(dǎo)出的變系數(shù)方程,我們發(fā)展了一種在變系數(shù)方程和相應(yīng)的常系數(shù)方程之間建立B(a)cklund變換的直接方法。該直接方法作為求解變系數(shù)方程的一個基本方法還將應(yīng)用于本論文的其他章節(jié)。
　　 第三章通過施加四個合理化條件(單渦旋的局域性、短程相互作用、兩體相互作用以及多渦旋的完

4、整性),將β面上的無輻散正壓位渦方程轉(zhuǎn)化為一個多渦旋相互作用模型。我們充分討論了該模型的經(jīng)典李對稱和守恒律,給出了模犁的幾種嚴(yán)格解,包括渦旋源解和Bessel渦旋解。利用該模型,結(jié)合孤立子理論以及數(shù)值模擬方法,我們解釋了大氣系統(tǒng)中熱帶氣旋之間一些重要的相互作用特征,包括氣旋間互旋、兩個氣旋在臨界距離處的合并或分離、強(qiáng)氣旋對弱氣旋的吸收,以及臺風(fēng)對副熱帶高壓的環(huán)繞運(yùn)動。
　　 第四章利用本論文第一章發(fā)展的構(gòu)造變系數(shù)方程與相應(yīng)常系數(shù)

5、方程之間B(a)cklund變換的直接方法,嚴(yán)格求解了一個變系數(shù)3+1維NLS方程和一個耦合變系數(shù)1+1維NLS方程,給出了前者的孤波解和后者的向量孤波解,同時給出了這些嚴(yán)格解存在時變系數(shù)之間所要滿足的關(guān)系。這兩類方程在玻色-愛因斯坦凝聚和非線性光學(xué)領(lǐng)域都有重要的理論意義。同時,在這一章里,我們還利用經(jīng)典李群法研究了一種和NLS方程相關(guān)的新型非線性方程-共振DS方程的對稱性,并且得到了該方程的三類嚴(yán)格解。
　　 與第二、三、四章

6、主要處理具體非線性問題不同,第五章則花一章的篇幅著力于方法的研究。通過對現(xiàn)有非線性方程研究中經(jīng)常使用的一些嚴(yán)格解方法及近似方法進(jìn)行總結(jié)和提煉,我們在同倫分析方法的基礎(chǔ)上提出了一種新的近似方法--不敏感性同倫方法。該方法通過建立線性或非線性同倫,將難以直接求解的原始模型和一個有嚴(yán)格解的簡化模型聯(lián)系起來,并且引入控制收斂的輔助參數(shù),從而不依賴小的微擾參量即可得到原始模型的高精度近似解。與同倫分析法相比,一方面,該方法突破了線性同倫的局限,展

7、示出完全可以用非線性同倫連接原始模型和簡化模型；另一方面,明確給出了一個指導(dǎo)確定合理輔助參數(shù)的原則--不敏感性原理,并且通過構(gòu)造不敏感量,給出了確定輔助參數(shù)以提高近似解精度的具體步驟。該方法的有效性通過非線性微分方程的求解和非簡諧振子能量本征值的計算得到了檢驗(yàn),它既可以作為近似求解非線性方程的工具,也可作為物理學(xué)中一種有效的非微擾方法來使用。
　　 第六章對論文的主要內(nèi)容進(jìn)行了總結(jié)和討論,并且對未來工作可能的新發(fā)展和新方向做了展