冪線性空間.pdf

1、隨著模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展，集值映射的重要性的日益突出，各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)都有由論域向其冪集上提升的需要。自從李洪興教授在文獻(xiàn)<'[1]>中考慮了代數(shù)結(jié)構(gòu)的提升問(wèn)題，并首次提出了HX群的概念，文獻(xiàn)<'[2]>提出代數(shù)群的提升--冪群的概念以來(lái)，超代數(shù)的研究引起了不少學(xué)者和愛好者的關(guān)注，文獻(xiàn)<'[2]-[23]>得到了冪群的一系列很好的結(jié)果，文獻(xiàn)[24]-[38]給出了環(huán)的冪集提升-冪環(huán)，并得到了冪環(huán)的一系列性質(zhì)，文獻(xiàn)[39]-[43]給出了格的冪集提

2、升-冪格，并相應(yīng)得到一系列有價(jià)值的成果。超代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究通常的研究方法：(1)代數(shù)運(yùn)算的提升；(2)冪代數(shù)結(jié)構(gòu)概念及其實(shí)例；(3)冪代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)。 首先線性空間上的線性運(yùn)算的冪集提升定理2.3.1 自然冪線性空間一定是原線性空間或其某個(gè)子空間。 關(guān)于以上兩個(gè)運(yùn)算構(gòu)成數(shù)域F上的線性空間，那么稱P<'*>(V)是由數(shù)域F上線性空間V誘導(dǎo)出的一個(gè)冪線性空間。 自然冪線性空間和冪線性空間統(tǒng)稱為冪線性空間。 自然

3、冪線性空間必是冪線性空間的特例。 定理2.3.2冪線性空間P<'*>(V)一定是原線性空間V或其子空間的一個(gè)商空間。 定理2.4.1 冪線性空間的維數(shù)等于線性空間或其子空間的維數(shù)與冪零元的維數(shù)之差。 定理2.4.2 自然冪線性空間的維數(shù)等于線性空間或其子空間的維數(shù)。 定理2.6.1 同一個(gè)數(shù)域下的兩個(gè)有限維的冪線性空間同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)它們維數(shù)是相同的。 定理2.6.2任意線性空間與它誘導(dǎo)出的冪線性空間

4、同態(tài)。 定理2.6.3任意冪線性空間都與其原線性空間的某個(gè)子空間同構(gòu)。 推論同一個(gè)數(shù)域下的任意兩個(gè)線性空間或者冪線性空間的維數(shù)相等，則它們必同構(gòu)。 第一廣義冪線性空間與第二廣義冪線性空間通稱為廣義冪線性空間。為方便起見，統(tǒng)一記廣義冪線性空間為。 相應(yīng)的可以定義廣義冪線性空間上的冪線性表出、冪線性相關(guān)、冪線性無(wú)關(guān)、冪基、維數(shù)、廣義冪予空間、同態(tài)與同構(gòu)以及系列性質(zhì)。 運(yùn)算的提升可以得出各種超結(jié)構(gòu)，如冪