冪等算子的線性組合，路徑連接及算子的Drazin逆.pdf

1、算子論是泛函分析中一個(gè)極其重要的研究領(lǐng)域，冪等算子及算子的Drazin逆是近年來算子論中比較活躍的研究課題.對它們的研究涉及到基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的許多分支，諸如代數(shù)學(xué)、幾何理論、算子擾動理論、矩陣?yán)碚摗⒈平?，?yōu)化理論與量子物理等，通過對它們的研究可使算子結(jié)構(gòu)的內(nèi)在關(guān)系變得更加清晰，同時(shí)也使得有關(guān)算子論課題的研究具有更堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ). 本文研究內(nèi)容涉及Hilbert空間中的兩個(gè)冪等算子的線性組合，路徑連接以及Hilbert空間中

2、算子的Drazin逆三個(gè)方面的內(nèi)容.全文共分三章，主要內(nèi)容如下： 第一章根據(jù)空間分解理論及算子矩陣分塊的技巧，給出了Hilbert空間中冪等算子與正交投影算子的幾何表示，并以此為工具，系統(tǒng)的研究了無限維Hilbert空間中冪等算子線性組合的性質(zhì)，刻畫出B(H)中兩個(gè)冪等算子P和Q的線性組合λ1P+λ2Q保持冪等性的充分必要條件，其中λ1與λ2為非零復(fù)數(shù)，從而推廣了文獻(xiàn)[1]中J.K.Baksalary與O.M.Baksalary

3、的結(jié)論.值得指出的是，我們通過嚴(yán)密的推理得出，[1]中定理的條件P1P2≠P2P1是非必要的. 第二章主要討論在無限維Hilbert空間中，兩個(gè)同倫的冪等算子的連通性問題.由于在此問題的探討中，由Z.V.Kovarik于1977年提出的Kovarik公式有著舉足輕重的作用.因此在本章第二節(jié)中，我們深入討論了Kovarik公式及其廣義Kovarik公式的性質(zhì)特征.隨后，我們以此為工具，借助算子矩陣分塊的技巧，給出了無限維Hilbe

4、rt空間中兩個(gè)同倫的冪等算子在(s)(P,Q)≤2時(shí)所滿足的充分必要條件，這里的(s)(P,Q)表示在冪等算子的全體P中連接從P到Q，同時(shí)滿足連接從Q到P的保持冪等性的最小的線段個(gè)數(shù)，此時(shí)的條件相比[26]中J.Giol給出的條件要更弱一點(diǎn)，文中我們做了具體的證明. 第三章致力于研究定義在Hilbert空間中算子的Drazin逆.運(yùn)用算子指標(biāo)理論及空間分解理論，并借助于[35]中Hilbert空間上有界線性算子Drazin逆的表