冪等算子及組合逼近技巧.pdf

1、算子論是泛函分析中一個(gè)極其重要的研究領(lǐng)域，冪等算子及組合逼近技巧是近年來(lái)算子論中比較活躍的研究課題。對(duì)它們的研究涉及到基礎(chǔ)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的許多分支，諸如代數(shù)學(xué)、幾何理論、算子擾動(dòng)理論、矩陣?yán)碚?、逼近論，?yōu)化理論與量子物理等，通過(guò)對(duì)它們的研究可使算子結(jié)構(gòu)的內(nèi)在關(guān)系變得更加清晰，同時(shí)也使得有關(guān)算子論課題的研究具有更堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。 本文研究?jī)?nèi)容涉及Hilbert空間中的兩個(gè)冪等算子的幾何結(jié)構(gòu)，Hilbert空間中兩個(gè)冪等算子及其乘積

2、的線性組合的值域閉性以及組合逼近三個(gè)方面的內(nèi)容。全文共分三章，主要內(nèi)容如下： 第一章根據(jù)空間分解理論及算子矩陣分塊的技巧，利用Hilbert空間中正交投影算子幾何表示，并以此為工具，運(yùn)用正交投影算子矩陣表示，深入的研究了無(wú)限維Hilbert空間中兩個(gè)閉子空間之間的幾何特征，得到了關(guān)于間隙和兩個(gè)子空間夾角余弦的一種新的表示，值得指出的是我們通過(guò)嚴(yán)密的計(jì)算和推理，進(jìn)一步刻畫(huà)了最小間隙的大小。 第二章主要討論在無(wú)限維Hilbe

3、rt空間中冪等算子的性質(zhì)。在第二節(jié)中我們用矩陣分塊的技巧重新刻劃在文獻(xiàn)[4]中V．Ptak提到的冪等算子的范數(shù)與到其值域和核空間上的正交投影的乘積的范數(shù)之間的關(guān)系，也就是文中我們做了具體證明．在第三節(jié)中，我們利用冪等算子的分塊矩陣的精細(xì)表示，給出了則當(dāng)c<,1>(c<,2>+c<,3>)≠0，c<,2>(c<,1>+c<,3>)≠0，c<,1>+c<,2>+c<,3>≠0時(shí)，在或者的條件下， c<,1>P+c<,2>Q+c<,3>PQ的

4、值域冗(c<,1>P+c<,2>Q+c<,3>PQ)的閉性與數(shù)對(duì)(c<,1>，c<,2>，c<,3>)的選取無(wú)關(guān)。 第三章我們主要研究了組合逼近技巧。組合技巧在逼近論中是一種很有效的方法，在這一章中我們主要介紹了對(duì)于Hilbert空間中兩個(gè)子空間V<,1>和V<,2>，滿足V=V<,1>+V<,2>并且Pv<,1>和Pv<,2>分別是到兩個(gè)子空間V<,1>和V<,2>上的正交投影，我們用Pv<,1>和Pv<,2>來(lái)組合逼近到空間