數(shù)學(xué)物理方法_第1頁(yè)
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1、教,材,《數(shù)學(xué)物理方法》課程教材,,參考教材(國(guó)外優(yōu)秀教材),,,,參考教材(國(guó)內(nèi)優(yōu)秀教材),,,,,,,,,,序言,將數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用于現(xiàn)代高新技術(shù)專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域,并構(gòu)建成典型的數(shù)學(xué)物理模型和解決問(wèn)題的方法,從而形成了科學(xué)研究中實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)物理方法。數(shù)學(xué)物理方法既利用了精妙的數(shù)學(xué)思想,又聯(lián)系了具體的研究任務(wù)和目標(biāo)。脫離了數(shù)學(xué)思維,具體研究任務(wù)就失去了理論指導(dǎo)方法;脫離了所研究的對(duì)象(物理模型),數(shù)學(xué)思維就難以發(fā)揮其解決實(shí)際問(wèn)題的巨大

2、潛能。既非數(shù)學(xué)思想也非物理模型本身能達(dá)到盡善盡美,只有兩者的有機(jī)結(jié)合才能形成推動(dòng)人類(lèi)科學(xué)技術(shù)賴(lài)以發(fā)展的動(dòng)力之源。,柯朗曾經(jīng)描述:“從17世紀(jì)以來(lái),物理的直觀,對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題和方法是富有生命力的根源,然而近年來(lái)的趨向和時(shí)尚,已將數(shù)學(xué)與物理間的聯(lián)系減弱了,數(shù)學(xué)家離開(kāi)了數(shù)學(xué)的直觀根源,而集中推理精致和著重于數(shù)學(xué)的公設(shè)方面,甚至有時(shí)忽視數(shù)學(xué)與物理學(xué)以及其他科學(xué)領(lǐng)域的整體性。而且在許多情況下,物理學(xué)家也不再體會(huì)數(shù)學(xué)家的觀點(diǎn),這種分裂無(wú)疑地對(duì)于整個(gè)科

3、學(xué)界是一個(gè)嚴(yán)重的威脅。 科學(xué)發(fā)展的,洪流可能逐漸分裂成為細(xì)小而又細(xì)小的溪渠,以至于干涸,因此有必要引導(dǎo)我們的努力轉(zhuǎn)向于將許多有特點(diǎn)的和各式各樣的科學(xué)事實(shí)的共同點(diǎn)及其相互關(guān)聯(lián)加以闡明,以重新統(tǒng)一這種分離的趨向” 或許我們今天所應(yīng)做的正是柯朗所指出的。數(shù)學(xué)物理方法也正是將這種分裂進(jìn)行重新統(tǒng)一并實(shí)現(xiàn)有機(jī)結(jié)合的具體體現(xiàn)。,數(shù)學(xué)物理方法,數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)篇,復(fù)變函數(shù)篇,數(shù)學(xué)物理方程篇,特殊函數(shù)篇,計(jì)算機(jī)仿真篇,,,,,,第一篇 復(fù)變函數(shù)論,《復(fù)變

4、函數(shù)論》 主要內(nèi)容,第一章、復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第二章、解析函數(shù)第三章、復(fù)變函數(shù)的積分 第四章、級(jí)數(shù)第五章、留數(shù)第六章、保角變換第七章、傅里葉變換第八章、拉普拉斯變換,,一. 復(fù)數(shù)二. 復(fù)數(shù)的表示三. 復(fù)數(shù)的乘冪與方根四. 區(qū)域五. 復(fù)變函數(shù)六. 復(fù)變函數(shù)的極限七. 復(fù)變函數(shù)的連續(xù),第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),復(fù)數(shù)的發(fā)展,復(fù)數(shù)的引入,,需特別指出:可以證明當(dāng)有三個(gè)不同的實(shí)根時(shí),若要用公式法來(lái)求解,則不可能不經(jīng)過(guò)負(fù)數(shù)開(kāi)方(

5、參考:范德瓦爾登著《代數(shù)學(xué)》,丁石孫譯, 科學(xué)出版社,1963年). 至此,我們明白了這樣的事實(shí),此方程根的求得必須引入虛數(shù)概念. 卡丹諾公式出現(xiàn)于十七世紀(jì),那時(shí)虛數(shù)的地位就應(yīng)確定下來(lái),但對(duì)虛數(shù)的本質(zhì)還缺乏認(rèn)識(shí).“虛數(shù)”這個(gè)名詞是由十七世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒(Descartes)正式取定的.“虛數(shù)”代表的意思是“虛假的數(shù)”,“實(shí)際不存在的數(shù)”,后來(lái)還有人“論證”虛數(shù)應(yīng)該被排除在數(shù)的世界之外.由此給虛數(shù)披上了一層神秘的外衣.,

6、十八世紀(jì),瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Leonhard· Euler, 1707-1783) 試圖進(jìn)一步解釋虛數(shù)到底是什么數(shù),他把虛數(shù)稱(chēng)之為“幻想中的數(shù)”或“不可能的數(shù)”.他在《對(duì)代數(shù)的完整性介紹》(1768-1769年在俄國(guó)出版,1770年在德國(guó)出版)一書(shū)中說(shuō):因?yàn)樗锌梢韵胂蟮臄?shù)或者比零大,或者比零小,或者等于零,即為有序數(shù). 所以很清楚,負(fù)數(shù)的平方根不能包括在可能的有序數(shù)中,就其概念而言它應(yīng)該是一種新的數(shù),而就其本性來(lái)說(shuō)它是不可能

7、的數(shù). 因?yàn)樗鼈冎淮嬖谟谙胂笾?因而通常叫做虛數(shù)或幻想中的數(shù),于是Euler首先引入符號(hào)作為虛數(shù)單位.,十八世紀(jì)末至十九世紀(jì)初,挪威測(cè)量學(xué)家Wessel(威塞爾)、瑞士的工程師阿爾甘(Argand)以及德國(guó)的數(shù)學(xué)家高斯(Gauss)等都對(duì)“虛數(shù)”(也稱(chēng)為“復(fù)數(shù)”)給出了幾何解釋?zhuān)⑹箯?fù)數(shù)得到了實(shí)際應(yīng)用. 特別地, 在十九世紀(jì),有三位代表性人物,即柯西(Cauchy,1789-1857)、維爾斯特拉斯(Weierstrass,1815

8、-1897)、黎曼(Rieman,1826-1866).柯西和維爾斯特拉斯分別應(yīng)用積分和級(jí)數(shù)研究復(fù)變函數(shù),黎曼研究復(fù)變函數(shù)的映像性質(zhì),經(jīng)過(guò)他們的不懈努力,終于建立了系統(tǒng)的復(fù)變函數(shù)論.,,自從有了復(fù)變函數(shù)論,實(shí)數(shù)領(lǐng)域中的禁區(qū)或不能解釋的問(wèn)題,比如:負(fù)數(shù)不能開(kāi)偶數(shù)次方;負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù);指數(shù)函數(shù)無(wú)周期性;正弦、余弦函數(shù)的絕對(duì)值不能超過(guò)1; …… 等已經(jīng)不復(fù)存在.,數(shù)學(xué)的思想一旦沖破傳統(tǒng)模式的藩籬,便會(huì)產(chǎn)生無(wú)可估量的創(chuàng)造力.哈密頓的

9、四元數(shù)的發(fā)明,使數(shù)學(xué)家們認(rèn)識(shí)到如果可以?huà)仐墝?shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的交換性(即拋棄復(fù)數(shù)的基本性質(zhì))去構(gòu)造一個(gè)有意義、有作用的新“數(shù)系”,那么就可以較為自由地考慮甚至偏離實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的通常性質(zhì)的代數(shù)構(gòu)造,從而使得另一通向抽象代數(shù)的大門(mén)被打開(kāi).我們相信隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展,數(shù)學(xué)系統(tǒng)理論將不斷地完善和自洽.,1.1 復(fù)數(shù)的概念及四則運(yùn)算1.1.1 復(fù)數(shù)概念,復(fù)數(shù)的無(wú)序性,實(shí)數(shù)可以比較大小,是有序的,但復(fù)數(shù)不能比較大小,即復(fù)數(shù)是無(wú)序的. 盡管復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部

10、均為實(shí)數(shù),但是由于復(fù)數(shù)是實(shí)部和虛部通過(guò)虛單位聯(lián)系起來(lái),從而是不能比較大小的.,問(wèn):復(fù)數(shù)為什么不能比較大小?解釋?zhuān)?復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的推廣,若復(fù)數(shù)能比較大小,則它的大小順序關(guān)系必須遵循實(shí)數(shù)順序關(guān)系的有關(guān)性質(zhì).,1.四則運(yùn)算,復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算也滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律和分配律。,1.復(fù)數(shù)的二項(xiàng)式定理,1.2 復(fù)數(shù)的表示,1.2.1 復(fù)數(shù)的幾何表示,,定義 復(fù)數(shù)的幾何表示 直角坐標(biāo)表示,,,,1.2.4 共軛復(fù)數(shù),1.3 復(fù)數(shù)的乘冪與方根,,,,,,例

11、求1的n次方根,并討論根在復(fù)平面單位圓周上的位置.,,,,例1.4.1 正十七邊形的幾何作圖討論。,1.4 復(fù)數(shù)典型綜合實(shí)例,,,,,,(12)有界區(qū)域:如果一個(gè)區(qū)域D可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓內(nèi)部,即存在正數(shù)M,使得區(qū)域D的每一點(diǎn)z都滿(mǎn)足 ,那么D稱(chēng)為有界區(qū)域.(13)無(wú)界區(qū)域:根據(jù)上面的定義,非有界區(qū)域即為無(wú)界區(qū)域.,例1.4.2 判斷代表什么樣的區(qū)域?,1.5復(fù)變函數(shù),,例1.6.1 證明極限不存在.,本章作業(yè),1.

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