線性空間中的相關(guān)與無關(guān)集

1、2.10線性空間中的相關(guān)與無關(guān)集線性空間中的相關(guān)與無關(guān)集10A線性空間中的相關(guān)與無關(guān)集線性空間中的相關(guān)與無關(guān)集定義定義.線性空間V中的的集合S，如果在S中存在不相同的有限個元x1，…，xk和相應(yīng)的不全為零的標量集c1，…，ck，使得1kiiicxO???則稱S為相關(guān)集。如果S不是相關(guān)集就稱為無關(guān)集。在這種情況下，對S中不同的有限個元x1，…，xk和標量c1，…，ck，由可以推得，c1=c2…=ck=0.1kiiicxO???雖然相關(guān)于無

2、關(guān)是關(guān)于元素集合的性質(zhì)，我們也可以將這些術(shù)語用于元素本身，例如，無關(guān)集中的元素稱為無關(guān)元。如果S是有限集，上述定義與第8章中向量空間Vn是一致的，然而，當下定義并不限制到有限集。例1.如果S的一個子集T是相關(guān)的，則S本身是相關(guān)的。邏輯等價于斷言：無關(guān)集的每一個子集是無關(guān)的。例2.如果S中的一個元素是另一個元素的數(shù)乘，則S是相關(guān)的。例3.如果O∈S，則S是相關(guān)的。例4.空集是無關(guān)集。第8章中討論了向量空間Vn中許多相關(guān)和無關(guān)集的例子。下面

3、的例子說明函數(shù)空間中的這些概念。每一種情況，基礎(chǔ)線性空間都是定義在實線上的實值函數(shù)全體。例5.22123()cos()sin()1tuttuttut???設(shè)對任意的由畢達哥拉斯等式123123uuuOuuu???推得，所以三個函數(shù)，，是相關(guān)的。例6.??012012().kkktuttSuuu?????對任意的實數(shù)設(shè)集合是無關(guān)集。要證明這個結(jié)論，只需證明對每一個n，由n1元u0u1…，un組成的多項式是無關(guān)的。形式的關(guān)系式意思是對對所有

4、的實數(shù)t，有0nkkkcuO???010.1.nkkkctO???（）當t=0時，就得到c0=0.微分（10.1）式并取t=0就得到c1=0.重復(fù)這個過程，就得到?jīng)]一個系數(shù)ck=0.例711naan??如果是不同的實數(shù)，則個指數(shù)函數(shù)可以對n歸納證明。當n=1時，結(jié)論11()()naxaxnuxeuxe???，是無關(guān)的。證明.(a)的證明與定理8.10的(b)是一致的，而(b)的證明與定理8.10的(c)是一致的。設(shè)V是n維的線性空間，考

5、慮它的一個基，其元素按給定的順序排列為e1，e2，…，en.我們用n元數(shù)組來記這樣的有序基。如果x∈V，我們可以用這些基元素的線性組合來表示x：1(10.4).niiixcx???等式中的系數(shù)確定了一個n元數(shù)組（c1，…，cn），它由x唯一確定。事實上，如果有x的另一e1，e2，…，en的線性組合則與（10.4）式相減，就得到1niiixdx???因為基元素是無關(guān)的，推得對每一個i有ci=di.所以有（c1，…，1().niiiicdx