中考數學專題復習 專題提升（十五）巧用旋轉進行證明與計算課件

1、專題提升（十五） 巧用旋轉進行證明與計算,圖Z15－1,【思想方法】 旋轉前、后的圖形全等，所以借此可以在較復雜的圖形中發(fā)現等量(或全等)關系，或通過旋轉(割補)圖形，把分散的已知量聚合起來，便于打通解題思路，疏通解題突破口．,1．如圖Z15－2所示，已知△ABC和△DCE均是等邊三角形，點B，C，E在同一條直線上，AE與BD交于點O，AE與CD交于點G，AC與BD交于點F，連結OC，FG，則下列結論：①AE＝BD；②AG＝BF；

2、③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中正確結論的個數是 (　 　)圖Z15－2A．1個 B．2個 C．3個 D．4個,D,2．如圖Z15－3，P是等腰直角△ABC外一點，把BP繞點B順時針旋轉90°到BP′，已知∠AP′B＝135°，P′A∶P′C＝1∶3，則P′A∶PB＝(　 　)圖Z15－3,B,【解析】 如圖，連結AP，

3、∵BP繞點B順時針旋轉90°到BP′，∴BP＝BP′，∠ABP＋∠ABP′＝90°.∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠CBP′＋∠ABP′＝90°，∴∠ABP＝∠CBP′.在△ABP和△CBP′中，,變形2答圖∴△ABP≌△CBP′(SAS)，∴AP＝P′C.又∵P′A∶P′C＝1∶3，∴AP＝3P′A.連接PP′，則△PBP′是等腰直角三角形，,∵∠AP′B＝135°

4、，∴∠AP′P＝135°－45°＝90°，∴△APP′是直角三角形．設P′A＝x，則AP＝3x，根據勾股定理，得∴P′B＝PB＝2x，∴P′A∶PB＝x∶2x＝1∶2.故選B.,3．如圖Z15－4，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于點F，BD分別交CE，AE于點G，H.試猜想線段AE和BD的位置和數量關系，并說明理由．圖Z

5、15－4解：猜想AE＝BD，AE⊥BD.理由如下：∵∠ACD＝∠BCE＝90°，,∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB.∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴AC＝CD，CE＝CB，∴△ACE≌△DCB(SAS)，∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB.∵∠AFC＝∠DFH，∴∠DHF＝∠ACD＝90°，∴AE⊥BD.,4．[2013·北京]在△ABC中，AB＝AC

6、，∠BAC＝α(0°＜α＜60°)，將線段BC繞點B逆時針旋轉60°得到線段BD.圖Z15－5(1)如圖Z15－5(1)，直接寫出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；,(2)如圖Z15－5(2)，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判斷△ABE的形狀并加以證明；(3)在(2)的條件下，連結DE，若∠DEC＝45°，求α的值．,(2)△ABE 為等邊三角

7、形．證明：連結AD，CD，∵線段 BC 繞點 B 逆時針旋轉 60° 得到線段 BD，則BC＝BD，∠DBC＝60°，∴△BCD 為等邊三角形．又∵∠ABE＝ 60°，,∴ △ABD ≌△EBC(AAS)，∴AB＝BE，∴△ABE為等邊三角形．變形4答圖(1)　　　 變形4答圖(2),(3)∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°，∴∠DCE＝150°－

8、60°＝90°.∵∠DEC＝45°，∴ △DCE為等腰直角三角形，∴DC＝CE＝BC.又∵∠BCE＝150°，,5．[2014·咸寧]如圖Z15－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉n度后，得到△DEC，點D剛好落在AB邊上．(1)求n的值；(2)若F是DE的中點，判斷四邊形ACFD的形狀，并說明理由．

9、圖Z15－6,解：(1)∵將△ABC繞點C按順時針方向旋轉n度后，得到△DEC，∴CD＝CA，∴△ACD是等腰三角形．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ACD＝60°，∴△ABC繞點C按順時針方向旋轉60度后，得到△DEC，∴n＝60°.,(2)四邊形ACFD是菱形．理由如下：∵△ACD是等邊三角

10、形，∴AC＝CD＝AD，∠ADC＝60°.又∵∠ACB＝90°，∴∠DCB＝30°，∴∠DCB＝∠B，∵將△ABC繞點C按順時針方向旋轉后，得到△DEC，且△ABC為直角三角形，,∴△DEC為直角三角形，DE＝AB.∵F是DE的中點，∴CF是直角三角形DEC斜邊上的中線，∴AC＝CF＝DF＝AD，∴四邊形ACFD是菱形．,圖Z15－7　　 圖Z15－8(1)他將正方形ODEF繞

11、O點逆時針旋轉一定的角度，如圖Z15－8，試判斷AD與CF還相等嗎？說明你的理由；,(2)他將正方形ODEF繞O點逆時針旋轉，使點E旋轉至直線l上，如圖Z15－9，請你求出CF的長．圖Z15－9,解：(1)AD與CF還相等．理由：∵四邊形ODEF，四邊形ABCO為正方形，∴∠DOF ＝∠COA ＝ 90°，DO＝OF，CO＝OA，∴∠COF ＝∠AOD，∴△COF ≌△AOD(SAS)，∴AD＝CF.