量子力學(xué)第2章-定態(tài)薛定諤方程

1、第二章 定態(tài)薛定鄂方程,（一）定態(tài)Schrödinger方程，定態(tài) （二）能量本征值方程 （三）求解定態(tài)問題的步驟 （四）定態(tài)的性質(zhì) （五）如何由定態(tài)得到一般解,（一）定態(tài)Schrödinger方程，定態(tài),討論有外場(chǎng)情況下的 Schrödinger 方程：,令：,,于是：,V(r)與t無關(guān)時(shí)，可以分離變量,,等式兩邊是相互無關(guān)的物理量，故應(yīng)等于與 t, r 無關(guān)的常數(shù),此波函數(shù)與時(shí)間t的關(guān)系是正

2、弦型的，其角頻率ω=2πE/h。 由de Broglie關(guān)系可知： E 就是體系處于波函數(shù)Ψ(r,t)所描寫的狀態(tài)時(shí)的能量。也就是說，此時(shí)體系能量有確定的值，所以這種狀態(tài)稱為定態(tài)，波函數(shù)Ψ(r,t)稱為定態(tài)波函數(shù)。,空間波函數(shù)ψ(r)由方程,,和具體的邊界條件所確定。,該方程稱為定態(tài) Schrödinger 方程。,（1）一個(gè)算符作用于一個(gè)函數(shù)上得到一個(gè)常數(shù)乘以該函數(shù)這與數(shù)學(xué)物理方法中的本征值方程相同。 數(shù)學(xué)物理方

3、法中：微分方程 + 邊界條件構(gòu)成本征值問題；,（2）量子力學(xué)中：波函數(shù)要滿足三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件，對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)物理方法中的邊界條件，稱為波函數(shù)的自然邊界條件。 因此，在量子力學(xué)中稱與上類似的方程為束縛的本征值方程。常量 E 稱為算符 H 的本征值；Ψ稱為算符 H 的本征函數(shù)。 （3）由上面討論可知，當(dāng)體系處于能量算符本征函數(shù)所描寫的狀態(tài)（簡(jiǎn)稱能量本征態(tài)）時(shí)，粒子能量有確定的數(shù)值，這個(gè)數(shù)值就是與這個(gè)本征函數(shù)相應(yīng)的能量算符的本征值。,（

4、二）能量本征值方程,（三）求解定態(tài)問題的步驟,討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)Ψ(r,t)和在這些態(tài)中的能量 E。其具體步驟如下：,,,（1）列出定態(tài) Schrodinger方程,（2）根據(jù)波函數(shù)三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件求解能量 E 的本征值問題，得：,（3）寫出定態(tài)波函數(shù)即得到對(duì)應(yīng)第 n 個(gè)本征值 En 的定態(tài)波函數(shù),（4）通過歸一化確定歸一化系數(shù) Cn,（四）定態(tài)的性質(zhì),（2）幾率流密度與時(shí)間無關(guān),（1）粒子在空間幾率密度分

5、布與時(shí)間無關(guān),,4. 能量本征函數(shù)是完備的正交歸一系 可以證明（以后證明）,（3）處于定態(tài)時(shí)力學(xué)量（不顯含時(shí)間）的期待值是常數(shù),推論,正交歸一性,薛定鄂方程的通解可以用定態(tài)波函數(shù)的疊加表示為,其中展開系數(shù)由初始條件定,由定態(tài)波函數(shù)的正交歸一性,我們來求處在,能量的期待值,我們?cè)趤砜?的歸一化,從上面兩個(gè)式子可以看出，,具有幾率的概念，當(dāng)對(duì),測(cè)量能量時(shí)，測(cè)到,的幾率是,也可以說體系,是部分地處于,態(tài)，各個(gè)態(tài)出現(xiàn)的幾率分別是,需要注

6、意的是，盡管分離解自身是定態(tài)解，,,其幾率和期望值都不依賴時(shí)間，,但是一般解并不具備這個(gè)性質(zhì)；,因?yàn)椴煌亩☉B(tài)具有不同的能量，在計(jì)算時(shí),含時(shí)指數(shù)因子不能相互抵消,2.2一維無限深勢(shì)阱,求解 S — 方程 分四步： （1）列出各勢(shì)域的一維S—方程 （2）解方程 （3）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定解 （4）定歸一化系數(shù),（1）列出各勢(shì)域的 S — 方程,方程可 簡(jiǎn)化為：,,,勢(shì)V(x)分為三個(gè)區(qū)域， 用 I 、II 和 III 表示

7、，其上的波函數(shù)分別為ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。則方程為：,（3）使用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件定解,,從物理考慮，粒子不能透過無窮高的勢(shì)壁。 根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，要求在阱壁上和阱壁 外波函數(shù)為零，特別是 ψ(-a) = ψ(a) = 0。,,1。單值，成立； 2。有限：當(dāng)x ? - ∞ ， ψ 有限條件要求 C2=0。,(2) 解方程,3。連續(xù)性:在勢(shì)的分界點(diǎn),由波函數(shù)的連續(xù)性：,,點(diǎn),,點(diǎn),,由

8、此得到,,,A和B不能同時(shí)為零,否則波函數(shù)處處為零(處處為零的波函數(shù)總是滿足薛定諤方程的),這在物理上是沒有意義的.因此,我們得到兩組解,(1),2.6-8,對(duì)第一種情況,我們必須有,對(duì)第二種情況,我們必須有,n=0對(duì)應(yīng)于波函數(shù)恒為零的解沒有意義, n等于負(fù)整數(shù)時(shí)不給出新的解.由(2.6-5,10)體系的能量為,可以看出由無限多個(gè)能量值, 它們組成體系的分離能級(jí),每一個(gè)能級(jí)對(duì)應(yīng)一個(gè)n, 我們稱n為量子數(shù).,正整數(shù) (2.6

9、-11),(2),2.6-9,2.6-10,我們得到的兩組波函數(shù)解,2.6-12,這兩組解可以合并為一個(gè)式子,2.6-14,2.6-13,由歸一化條件,求出,所以一維無限深勢(shì)阱中粒子的定態(tài)波函數(shù)是,利用公式,可以將正弦波寫成指數(shù)函數(shù),由此可知,是由兩個(gè)沿相反方向傳播振幅相等的平面波疊加而成的駐波,波函數(shù)在勢(shì)阱外時(shí)為零,即粒子被束縛在勢(shì)阱內(nèi)部.通常把在無限遠(yuǎn)處為零的波函數(shù)所描寫的狀態(tài)稱為束縛態(tài),一般來講,束縛態(tài)所屬的能級(jí)是分立的.體系能量

10、最低的態(tài)稱為基態(tài),一維無限深勢(shì)阱中的粒子的基態(tài)是n=1的本征態(tài).,（6）粒子的能級(jí)間隔,相鄰兩個(gè)能級(jí)的能量差：,相鄰兩個(gè)能級(jí)的能量差與勢(shì)阱寬度的平方成反比。因此，量子化現(xiàn)象對(duì)于空間范圍很小的微觀體系才顯著。,一維無限深勢(shì)阱應(yīng)用舉例：解釋有機(jī)燃料分子（多烯烴）不同顏色的根源。 有機(jī)燃料分子是線性分子，電子在分子內(nèi)運(yùn)動(dòng)是自由的，但不能跑出分子外，可以簡(jiǎn)化為電子在一維無限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)。設(shè)分子限度為2a，例如 1

11、）靛藍(lán)，其 a大， 小，他吸收低頻光，反射高頻光，因此呈藍(lán)紫色。 2）剛果紅，其 a小， 大，他吸收高頻光，反射低頻光，因此呈紅色。,（三）宇稱,（1）空間反射變換：空間矢量反向的操作。,（2）此時(shí)如果有：,稱波函數(shù)具有偶宇稱；,稱波函數(shù)具有奇宇稱；,2.3 線性諧振子,（一）引言 （1）何謂諧振子 （2）為什么研究線性諧振子 （二）線性諧振子 （1）方程的建立 （2）求解 （3）應(yīng)用

12、標(biāo)準(zhǔn)條件 （4）厄密多項(xiàng)式 （5）求歸一化系數(shù) （6）討論（三）實(shí)例,（一）引言,（1）何謂諧振子,量子力學(xué)中的線性諧振子就是指在該式所描述的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子。,在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)量為 ? 的粒子，受彈性力F = - kx作用，由牛頓第二定律可以寫出運(yùn)動(dòng)方程為：,其解為 x = Asin(ω t + δ)。這種運(yùn)動(dòng)稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，作這種運(yùn)動(dòng)的粒子叫諧振子。,若取V0 = 0，即平衡位置處于勢(shì) V = 0 點(diǎn)，則,,（2）為什

13、么研究線性諧振子,自然界廣泛碰到簡(jiǎn)諧振動(dòng)，任何體系在平衡位置附近的小振動(dòng)，例如分子振動(dòng)、晶格振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及輻射場(chǎng)的振動(dòng)等往往都可以分解成若干彼此獨(dú)立的一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)往往還作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似，所以簡(jiǎn)諧振動(dòng)的研究，無論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。 例如雙原子分子，兩原子間的勢(shì)V是二者相對(duì)距離x的函數(shù)，如圖所示。在 x = a 處，V 有一極小值V0 。在 x = a 附近勢(shì)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)：,,,,取新坐標(biāo)原點(diǎn)

14、為(a,V0)，則勢(shì)可表示為標(biāo)準(zhǔn)諧振子勢(shì)的形式：,可見，一些復(fù)雜的勢(shì)場(chǎng)下粒子的運(yùn)動(dòng)往往可以用線性諧振動(dòng)來近似描述。,（1）方程的建立,,線性諧振子的 Hamilton算符：,定態(tài) Schrödinger 方程 ：,為簡(jiǎn)單起見，引入無量綱變量ξ代替x，,此式是一變系數(shù)二階常微分方程。,（2）求通解,為求解方程，我們先看一下它的漸 近解，即當(dāng) ξ→±∞ 時(shí)波函數(shù) ψ的行為。在此情況下，λ<< ξ2，

15、 于是方程變?yōu)椋?其解為：ψ∞ = exp[±ξ2/2]，,1. 漸近解,欲驗(yàn)證解的正確性，可將其代回方程，,波函數(shù)有限性條件：,,當(dāng)ξ→±∞ 時(shí)，應(yīng)有 c2 = 0，,因整個(gè)波函數(shù)尚未歸一化，所以c1可以令其等于1。最后漸近波函數(shù)為：,ξ2 >> ± 1,其中 H(ξ) 必須滿足波函數(shù)的單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。即：

16、 ① 當(dāng)ξ有限時(shí)，H(ξ)有限； ② 當(dāng)ξ→∞時(shí)，H(ξ)的行為要保證ψ(ξ)→ 0。,將ψ(ξ)表達(dá)式代入方程得 關(guān)于 待求函數(shù) H(ξ) 所滿足的方程：,2. H(ξ)滿足的方程,此方程稱為 Hermite 方程。,3.Hermite 方程的級(jí)數(shù)解,以級(jí)數(shù)形式來求解，令：,用 k 代替 k’,由上式可以看出： b0 決定所有角標(biāo)k為偶數(shù)的系數(shù)； b1 決定所有角標(biāo)k為奇數(shù)的系數(shù)

17、。 因?yàn)榉匠淌嵌A微分方程，應(yīng)有兩個(gè) 線性獨(dú)立解?？煞謩e令：,,b0 ≠ 0, b1=0. → Heven(ξ); b1 ≠ 0, b0=0. → Hodd(ξ).,即： bk+2(k+2)(k+1)- bk 2k + bk(λ-1) = 0 從而導(dǎo)出系數(shù) bk 的遞推公式：,該式對(duì)任意ξ都成立，故ξ同次冪前的系數(shù)均應(yīng)為零。,只含偶次冪項(xiàng),只含奇次冪項(xiàng),則通解可記為： H = co Hodd + ce Heven

18、 ψ= (co Hodd + ce Heven e) exp[-ξ2/2],（3）用標(biāo)準(zhǔn)條件定解,(I)ξ=0 exp[-ξ2/2]|ξ=0 = 1 Heven(ξ)|ξ=0 = b0 Hodd(ξ)|ξ=0 = 0 皆有限,(II) ξ→±∞ 需要考慮無窮級(jí)數(shù)H(ξ)的收斂性,為此考察相鄰 兩項(xiàng)之比：,考察冪級(jí)數(shù)exp[ξ2]的展開式的收斂性,比較二級(jí)數(shù)可知： 當(dāng)ξ→±∞時(shí)

19、， H(ξ)的漸近行為與exp[ξ2]相同。,單值性和連續(xù)性條件自然滿足，只剩下第三個(gè)有限性條件需要進(jìn)行討論。,因?yàn)镠(ξ)是一個(gè)冪級(jí)數(shù)，故應(yīng)考慮他的收斂性?？紤]一些特殊點(diǎn)， 即勢(shì)場(chǎng)有跳躍的地方以及x=0, x → ±∞或ξ=0, ξ→±∞。,所以，總波函數(shù)有如下發(fā)散行為：,為了滿足波函數(shù)有限性要求，冪級(jí)數(shù) H(ξ) 必須從某一項(xiàng)截?cái)嘧兂梢粋€(gè)多項(xiàng)式。換言之，要求 H(ξ) 從某一項(xiàng)（比如第 n 項(xiàng)）起 以后各

20、項(xiàng)的系數(shù)均為零，即 bn ≠ 0, bn+2 = 0.,遞推關(guān)系,結(jié)論 基于波函數(shù) 在無窮遠(yuǎn)處的 有限性條件導(dǎo)致了 能量必須取 分立值。,（4）厄密多項(xiàng)式,從有限性條件得到 H(ξ)是多項(xiàng)式，該多項(xiàng)式稱為厄密多項(xiàng)式，記為Hn(ξ)，于是，總波函數(shù)可表示為：,由上式可以看出，Hn(ξ) 的最高次冪是 n 其系數(shù)是 2n。,歸一化常數(shù),Hn(ξ) 也可寫成封閉形式：,λ = 2n+1,下面給出前幾個(gè)厄密多項(xiàng)式具體表達(dá)式：

21、 H0=1；H2=4ξ2-2 ；H4 = 16ξ4-48ξ2+12 H1=2ξ；H3=8ξ3-12ξ；H5=32ξ5-160ξ3+120ξ,厄密多項(xiàng)式和諧振子波函數(shù)的遞推關(guān)系：,從上式出發(fā)，可導(dǎo)出 厄密多項(xiàng)式的遞推關(guān)系：,應(yīng) 用 實(shí) 例,例：已知 H0 = 1, H1=2ξ，則根據(jù)上述遞推關(guān)系得出： H2 = 2ξH1-2nH0 = 4ξ2-2,基于厄密多項(xiàng)式的遞推關(guān)系可以導(dǎo)出諧振子波函數(shù)Ψ

22、(x)的遞推關(guān)系：,（5）求歸一化常數(shù),分 步 積 分,該式第一項(xiàng)是一個(gè)多項(xiàng)式與 exp[-ξ2] 的 乘積，當(dāng)代入上下限ξ=±∞后，該項(xiàng)為零。,繼續(xù)分步積分到底,因?yàn)镠n的最高次項(xiàng) ξn的系數(shù)是2n，所以 dnHn /dξn = 2n n!。,則諧振子波函數(shù)為：,(I)作變量代換，因?yàn)棣?αx， 所以dξ=αdx； (II)應(yīng)用Hn(ξ)的封閉形式。,（6）討論,3. 對(duì)應(yīng)一個(gè)諧振子能級(jí)只有一個(gè)本征函數(shù)，即一個(gè)狀態(tài)

23、，所以能級(jí)是非簡(jiǎn)并的。值得注意的是，基態(tài)能量 E0={1/2}?ω ≠0，稱為零點(diǎn)能。這與無窮深勢(shì)阱中的粒子的基態(tài)能量不為零是相似的，是微觀粒子波粒二相性的表現(xiàn)，能量為零的“靜止的”波是沒有意義的，零點(diǎn)能是量子效應(yīng)。,1. 上式表明，Hn(ξ)的最高次項(xiàng)是(2ξ)n。所以, 當(dāng) n = 偶，則厄密多項(xiàng)式只含ξ的偶次項(xiàng)； 當(dāng) n = 奇，則厄密多項(xiàng)式只含ξ的奇次項(xiàng)。,2. ψn具有n宇稱,上式描寫的諧振子波函數(shù)所包

24、含的 exp[-ξ2/2]是ξ的偶函數(shù)，所以ψn的宇稱由厄密多項(xiàng)式 Hn(ξ) 決定為 n 宇稱。,4. 波函數(shù),然而，量子情況與此不同,對(duì)于基態(tài)，其幾率密度是： ω0(ξ) = |ψ0(ξ)|2 = N02 exp[-ξ2] (1)在ξ= 0處找到粒子的幾率最大； (2)在|ξ|≧1處，即在阱外找到粒子的幾率不為零,與經(jīng)典情況完全不同。,以基態(tài)為例，在經(jīng)典情形下，粒子將被限制在|α x|< 1 范

25、圍中運(yùn)動(dòng)。這是因?yàn)檎褡釉谶@一點(diǎn)(|αx| = 1)處，其勢(shì)能V(x)=(1/2)μω2 x2 = {1/2} ?ω= E0，即勢(shì)能等于總能量，動(dòng)能為零，粒子被限制在阱內(nèi)。,分析波函數(shù)可知量子力學(xué)的諧振子波函數(shù)ψn有 n 個(gè)節(jié)點(diǎn)，在節(jié)點(diǎn)處找到粒子的幾率為零。而經(jīng)典力學(xué)的諧振子在 [-a, a] 區(qū)間每一點(diǎn)上都能找到粒子，沒有節(jié)點(diǎn)。,5. 幾率分布,當(dāng)線性諧振子處在前幾個(gè)量子態(tài)時(shí),幾率分布與經(jīng)典情況差別很大。當(dāng)量子數(shù)增大時(shí)，相似性隨之增加。

26、,另一種解法,,,,,,,,,我們看到如果體系的勢(shì)能在無限遠(yuǎn)處是無窮大,則波函數(shù)在無限遠(yuǎn)處為零,這個(gè)條件使體系的能級(jí)是分離的.如果體系的能量在無限遠(yuǎn)處不是無限大,而為有限值(下面取作零),這時(shí)粒子可以在無限遠(yuǎn)處出現(xiàn),波函數(shù)在無限遠(yuǎn)處不為零,由于沒有無限遠(yuǎn)處波函數(shù)為零的約束,體系的能量可以取任意之,即組成連續(xù)譜.這類問題屬于粒子被勢(shì)場(chǎng)散射的問題,粒子由無限遠(yuǎn)處來,被勢(shì)場(chǎng)散射后又到無限遠(yuǎn)處去.在這類問題中,粒子的能量是預(yù)先確定的. 考

27、慮在一維空間運(yùn)動(dòng)的粒子, 勢(shì)場(chǎng)為,具有一定能量E的粒子由勢(shì)壘左方向右運(yùn)動(dòng).在經(jīng)典力學(xué)中,只有能量E大于U0的粒子才能越過勢(shì)壘,能量小于U0的粒子將被反射回去,不能透過勢(shì)壘.當(dāng)粒子能量確定后,它能不能穿過勢(shì)壘是唯一確定的.在量子力學(xué)中,情況卻不是這樣, 能量大于U0的粒子有可能越過勢(shì)壘,也有可能被反射.而能量小于U0的粒子有可能被反射,但是也有可能越過勢(shì)壘.,定態(tài)Schrödinger方程:,一維勢(shì)散射問題,,（二）方程求解,（

28、1）E > V0 情況,因?yàn)?E > 0, E > V0, 所以 k1 > 0, k2 > 0. 上面的方程可改寫為：,,上述三個(gè)區(qū)域的 Schrödinger 方程可寫為：,,定態(tài)波函數(shù)ψ1,ψ2,ψ3 分別乘以含時(shí)因子 exp[-iEt/?] 即可看出：式中第一項(xiàng)是沿x正向傳播的平面波，第二項(xiàng)是沿x負(fù)向傳播的平面波。由于在 x > a 的III 區(qū)沒有反射波，所以 C'=0

29、，于是解為：,,利用波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件來定系數(shù)。首先,解單值、有限條件滿足?？紤]連續(xù)性:,1. 波函數(shù)連續(xù),2. 波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù),解出,寫成矩陣形式,4. 透射系數(shù)和反射系數(shù),求解方程組得:,為了定量描述入射粒子透射勢(shì)壘的幾率和被 勢(shì)壘反射的幾率，定義透射系數(shù)和反射系數(shù)。,I 透射系數(shù)： 透射波幾率流密度與入射波 幾率流密度之比稱為透射系數(shù) D = JD/JI,II 反射系數(shù)： 反射波幾率流密度與入射波 幾率流密度之比

30、稱為反射系數(shù) R = JR/JI,物理意義：描述貫穿到 x > a 的 III區(qū)中的粒子在單位時(shí)間內(nèi)流過垂直 x方向的單位面積的數(shù)目與入射粒子（在 x < 0 的 I 區(qū)）在單位時(shí)間內(nèi)流過垂直于x方向單位面積的數(shù)目之比。,,下面求 D 和 R,幾率流密度矢量：,對(duì)一維定態(tài)問題，J 與 時(shí)間無關(guān)。,對(duì)透射波ψ= Cexp[ik1x]， 所以，透射波幾率流密度：,反射波ψ= A’exp[-ik1x]， 所以，反

31、射波幾率流密度：,其中負(fù)號(hào)表示與入 射波方向相反。,入射波Ψ = Aexp[ik1x]，所以，入射波幾率流密度：,透射系數(shù)為:,從以上二式可看出， D+R=1，幾率守恒,入射粒子一部分貫穿勢(shì)壘到 x > a 的III區(qū)，另一部分則被勢(shì)壘反射回來。,反射系數(shù)為：,由于,（2）E < V0 情況,故令：k2=ik3， 其中k3=[2μ(V0-E)/ ?]1/2。這樣把前面公式中的 k2 換成 ik3 。 并注意到：sin

32、 ik3a = i sinh k3a,即使 E < V0，在一般情況下，透射系數(shù) D 并不等于零。,,入射波+反射波,透射波,因 k2=[2μ(E-V0)/ ?]1/2，當(dāng) E < V0 時(shí)，k2 是虛數(shù)，,隧道效應(yīng)（tunnel effect）：,粒子能夠穿透比它動(dòng)能更高的勢(shì)壘的現(xiàn)象.它是粒子具有波動(dòng)性的生動(dòng)表現(xiàn)。當(dāng)然，這種現(xiàn)象只在一定條件下才比較顯著。左圖給出了勢(shì)壘穿透的波動(dòng)圖象。,（三）討論,（1）當(dāng)k3a >&

33、gt; 1時(shí),故4可略,透射系數(shù)則變?yōu)椋?粗略估計(jì)，認(rèn)為 k1 ≈ k3 （相當(dāng)于E ≈V0/2）, 則 D0 = 4是一常數(shù)。下面通過實(shí)例來說明透射系數(shù)的量級(jí)大小。,于是：,,例1: 入射粒子為電子。,設(shè) E=1eV, V0 = 2eV, a = 2× 10-8 cm = 2Å， 算得 D ≈ 0.51。,若a=5× 10-8cm = 5 Å， 則 D ≈ 0.024，可見 透射系數(shù)迅速

34、減小。,,質(zhì)子與電子質(zhì)量比 μp/μe ≈ 1840。 對(duì)于a = 2 Å則 D ≈ 2 × 10-38。 可見透射系數(shù)明顯的依賴于 粒子的質(zhì)量和勢(shì)壘的寬度。,量子力學(xué)提出后，Gamow 首先用勢(shì)壘穿透成功的說明 了放射性元素的α衰變現(xiàn)象。,例2: 入射粒子換成質(zhì)子。,（2）任意形狀的勢(shì)壘,則 a→b貫穿勢(shì)壘V(x)的 透射系數(shù)等于貫穿這些小 方勢(shì)壘透射系數(shù)之積，即,此式的推導(dǎo)是不太嚴(yán)

35、格的，但該式與嚴(yán)格推導(dǎo)的結(jié)果一致。,對(duì)每一小方勢(shì)壘透射系數(shù),可把任意形狀的勢(shì)壘分割成許 多小勢(shì)壘，這些小勢(shì)壘可以近 似用方勢(shì)壘處理。,（四）應(yīng)用實(shí)例,（1）原子鐘 （2）場(chǎng)致發(fā)射（冷發(fā)射）,α衰變、隧道二極管、熱核聚變、掃描隧道顯微鏡等都是勢(shì)壘穿透現(xiàn)象，下面介紹兩個(gè)典型實(shí)例。,（1）原子鐘,原子鐘的頻率標(biāo)準(zhǔn)就是利用氨分子( N H3 ) 基態(tài)勢(shì)壘貫穿的振蕩頻率。,氨分子(NH3)是一個(gè)棱錐體，N 原子在其頂點(diǎn)上，三個(gè) H 原子

36、在基底。如右圖所示。,如果N原子初始在N處，則由于隧 道效應(yīng)，可以穿過勢(shì)壘而出現(xiàn)在 N’點(diǎn)。當(dāng)運(yùn)動(dòng)能量小于勢(shì)壘高度,R-S之間或T-U之間的振蕩（諧振子）；這兩個(gè)區(qū)域之間通過勢(shì)壘的緩慢得多的振蕩運(yùn)動(dòng)。,如圖中能級(jí) E 所示，則N原子的運(yùn)動(dòng)有兩種形式：,對(duì)于NH3基態(tài)，第二種振蕩頻率為2.3786× 1010 Hz。這就是原子鐘在規(guī)定時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)時(shí)所利用的氨分子的勢(shì)壘貫穿運(yùn)動(dòng)。,（2）場(chǎng)致發(fā)射（冷發(fā)射）,,欲使金屬發(fā)射電子，

37、可以將金屬加熱或用光照射給電子提供能量，這就是我們所熟知的熱發(fā)射和光電效應(yīng)。,但是，施加一個(gè)外電場(chǎng)，金屬中電子的所感受到的電勢(shì)如圖(b)所示。金屬中電子面對(duì)一個(gè)勢(shì)壘，能量最大的電子就能通過隧道效應(yīng)穿過勢(shì)壘漏出，從而導(dǎo)致所謂場(chǎng)致電子發(fā)射。,,小結(jié),1、深刻理解波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,幾率密度的含義 波函數(shù)在空間中某一點(diǎn)的強(qiáng)度(???2) 和在該點(diǎn)找到粒子的幾率成正比在時(shí)刻t,在(x,y,z)點(diǎn)附近單位體積內(nèi)找到粒子的幾率,稱為幾率密度