解析幾何中極點與極線知識的現狀與應用研究

1、1極點與極線背景下的高考試題王文彬王文彬(江西省撫州市第一中學344000)極點與極線是高等幾何中的重要概念，當然不是《高中數學課程標準》規(guī)定的學習內容，也不屬于高考考查的范圍，但由于極點與極線是圓錐曲線的一種基本特征，因此在高考試題中必然會有所反映，自然也會成為高考試題的命題背景.作為一名中學數學教師，應當了解極點與極線的概念，掌握有關極點與極線的基本性質，只有這樣，才能“識破”試題中蘊含的有關極點與極線的知識背景，進而把握命題規(guī)律.

2、1.從幾何角度看極點與極線定義定義1如圖1，設是不在圓錐曲線上的一點，過點引PP兩條割線依次交圓錐曲線于四點，連接EFGHEHFG交于，連接交于，則直線為點對應的極線.NEGFHMMNP若為圓錐曲線上的點，則過點的切線即為極線.PP由圖1同理可知，為點對應的極線，為點所PMNPNM對應的極線.因而將稱為自極三點形.設直線交圓錐曲線MNPMN于點兩點，則恰為圓錐曲線的兩條切線.ABPAPB定理1(1)當在圓錐曲線上時，則點的極線是曲線P?

3、P在點處的切線；?P(2)當在外時，過點作的兩條切線，設其切點分別為，則點的極線是P?P?ABP直線(即切點弦所在的直線)；AB(3)當在內時，過點任作一割線交于，設在處的切線交于點P?P?AB?ABQ，則點的極線是動點的軌跡.PQ定理2如圖2，設點關于圓錐曲線的極線為，過點任作一割線交于P?lP?AB，交于，則①；反之，若有①成立，則稱點調和分割線段，或稱lQPAPBAQBQ?PQAB點與關于調和共軛，或稱點(或點)關于圓錐曲線PQ?

4、PQ的調和共軛點為點(或點).點關于圓錐曲線的調?QPP?和共軛點是一條直線，這條直線就是點的極線.P推論1如圖2，設點關于圓錐曲線的調和共軛P?點為點，則有②；反之，若有②成立，Q211PQPAPB??則點與關于調和共軛.PQ?可以證明①與②是等價的.事實上，由①有11AQBQPQPAPBPQPQPQPAPBPAPBPAPB?????????11()2PQPAPB????.211PQPAPB???特別地，我們還有推論2如圖3，設點關于

5、有心圓錐曲線(設其中心為)的調和共軛點為點，P?OQ連線經過圓錐曲線的中心，則有，反之若有此式成立，則點與PQ2OPOQ??PQPEFGHMANB圖1PQA圖2Bl3雙曲線的準線；如果圓錐曲線是拋物線，當為其焦點時，極22ypx?00()Pxy(0)2pF線恰為拋物線的準線.3.從極點與極線角度看圓錐曲線試題【例1】(2010江蘇卷文理18)在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓xOy的左右頂點為，右焦點為設過點的直線與此橢圓分15922?

6、?yxABF()TtmTATB別交于點，其中，1122()()MxyNxy0m?1200yy??，(1)設動點P滿足，求點的軌跡；422??PBPFP(2)設，求點的坐標；12123xx??，T(3)設，求證：直線必過軸上的一定點（其坐標與無關）9?tMNxm分析與解：前面兩問比較簡單，這里從略.對于(3)，當時，點坐標為，9?tT(9)m連，設直線與的交點為，根據MNABMNK極點與極線的定義可知，點對應的極線經過，TK又點對應的極線

7、方程為，即T9195xmy????，此直線恒過軸上的定點，15myx???xK(10)從而直線也恒過定點.MNK(10)【例2】(2008安徽卷理22)設橢圓過點，且左2222:1(0)xyCabab????(21)M焦點為.1(20)F?(1)求橢圓的方程；C(2)當過點的動直線與橢圓交于兩個不同的點時，在線段上取點(41)PlCABAB，滿足，證明點總在某定直線上.QAPQBAQPB???????????????????Q分析與解：

8、(1)易求得答案.22142xy??(2)由條件可有，說明點關于PAPBAQBQ?????????????????PQ圓錐曲線調和共軛.根據定理2，點的軌跡就是點CQ對應的極線，即，化簡得.P41142xy????220xy???故點總在定直線上.Q220xy???【例3】(1995全國卷理26)已知橢圓，直線，是上22:12416xyC??:1128xyl??Pl一點，射線交橢圓于點，又點在上且滿足，當點在上OPRQOP2OQOP??