三種典型力學(xué)模型的分析

1、三種模型及其概要,三種模型是指：碰撞模型、人船模型、子彈打木塊模型,,碰撞的分類,彈性碰撞,非彈性碰撞,完全非彈性碰撞,,1．碰撞模型:,碰撞過程的力學(xué)特征：,經(jīng)歷的時(shí)間極短，所經(jīng)歷的時(shí)間在整個(gè)力學(xué)過程中可以忽略；碰撞雙方相互作用的內(nèi)力往往是遠(yuǎn)大于外力，系統(tǒng)在碰撞前后遵從總動(dòng)量守恒定律，且碰撞前后能量不會(huì)增加,彈性碰撞特例：,遵從碰撞前后系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒定律,即 m1υ1+m2υ2=m1u1+m2u2,遵從碰撞前后系統(tǒng)的總動(dòng)能相等,即,

2、½m1υ12+½m2υ22=½m1u12+½m1u22,由此可得碰后的速度,,,且碰撞前后,雙方的相對(duì)速度大小相等,即u2－u1=v1－v2,,完全非彈性碰撞特例：,遵從碰撞前后系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒定律,即 m1υ1+m2υ2=m1u1+m2u2,具備碰撞雙方碰后的速度相等的特征，即,,△E=½m1υ12+½m2υ22―½m1u12―½m2u22=½

3、m1υ12+½m2υ22－,碰撞過程中機(jī)械能損失最大,2．人船模型,“人船模型”是由人和船兩個(gè)物體構(gòu)成的系統(tǒng)；該系統(tǒng)在人和船相互作用下各自運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中該系統(tǒng)所受到的合外力為零，即系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中總動(dòng)量守恒。,原型：,長為L、質(zhì)量為M的小船停在靜水中，一個(gè)質(zhì)量為m的人立在船頭。若不計(jì)水的阻力，當(dāng)人從船頭走到船尾的過程中，系統(tǒng)在水平方向不受外力作用，水平方向上動(dòng)量守恒，人走動(dòng)過程中的每時(shí)每刻它們的總動(dòng)量都是零。設(shè)人的速度為v人

4、，船的速度為v船，人經(jīng)t秒從船頭到船尾，人相對(duì)岸的位移為s人，船相對(duì)岸的位移為s船.,由動(dòng)量守恒定律得： mv人=Mv船,,,,,滿足相似的關(guān)系。即,兩邊同乘以運(yùn)動(dòng)時(shí)間t，則,即 ms人=Ms船,而 s人+s船=L，所以有：,,,3．子彈打木塊模型,原型:如圖所示，一顆質(zhì)量為m的子彈以速度v0射入靜止在光滑水平面上的木塊M中且未穿出。設(shè)子彈與木塊間的摩擦為f。子彈打進(jìn)深度d相對(duì)木塊靜止，此時(shí)木塊前進(jìn)位移為s。,,對(duì)子彈由動(dòng)能定理有：

5、 ②,,對(duì)系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒有： mv0=（M＋m）v ①,,對(duì)木塊由動(dòng)能定理： ③,,將②③相加可得 ④,相互作用的力f與相時(shí)位移的大小d的乘積，等于子彈與木塊構(gòu)成的系統(tǒng)的動(dòng)能的減少量，亦即產(chǎn)生的內(nèi)能。,,由①和④可得動(dòng)能的損失值：,,故打入深度,明確:當(dāng)構(gòu)成系統(tǒng)的雙方相對(duì)運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)往復(fù)的情況時(shí),

6、公式中的d應(yīng)就理解為“相對(duì)路程”而不是“相對(duì)位移的大小”.,1．碰撞模型,,例1 甲、乙兩球在光滑水平軌道上向同方向運(yùn)動(dòng)，已知它們的動(dòng)量分別是p甲=5kg·m/s，p乙=7 kg·m/s。甲從后面追上乙并發(fā)生碰撞，碰后乙球的動(dòng)量變?yōu)?0kg·m/s，則兩球質(zhì)量m甲與m乙的關(guān)系可能是下面的哪幾種？ （ ） A.m甲＝m乙 B.m乙＝2m甲 C.m乙＝4m甲 D.m乙＝6m甲,解析：,

7、從題中給出的選項(xiàng)看，m甲、m乙是倍數(shù)關(guān)系，這樣可用km甲來表示m乙，,設(shè)碰前甲、乙兩球的速度為v甲、v乙，碰后甲、乙兩球的速度為v/甲、v/乙。,因甲從后面追上乙發(fā)生碰撞，則在碰前甲的速度應(yīng)大于乙的速度，即v甲>v乙。,由已知m甲v甲=5，m乙v乙=7，則有 ＞ ①,由動(dòng)量守恒定律可知，碰后甲的動(dòng)量為2kg·m/s，又因碰后，乙的速度大于等于甲的速度，v/乙≧v/甲，,,,則同理也有 ≧

8、 ②,在碰撞的過程中，未說動(dòng)能有無損失，這樣可列出動(dòng)能的不等式為,,將已知量代入，并分別解上述不等式；,由,,由此可知，只有選項(xiàng)C正確。,A.m甲＝m乙 B.m乙＝2m甲 C.m乙＝4m甲 D.m乙＝6m甲,,例2 如圖所示．質(zhì)量為m的滑塊靜止在光滑的水平桌面上，滑塊的光滑弧面底部與桌面相切，一個(gè)質(zhì)量為m的小球以速度v0向滑塊飛來，設(shè)小球不會(huì)越過滑塊，求滑塊能獲得的最大速度？此后小球做什么

9、運(yùn)動(dòng)?,解析：小球m在滑塊M上先上升再下落，整個(gè)過程中M一直在加速，故M的最大速率出現(xiàn)在m與M分離時(shí)刻，整個(gè)相互作用的過程中系統(tǒng)動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒。即,,由方程可以看出，屬于彈性碰撞模型，故,,V1=0,小球做自由落體運(yùn)動(dòng),例3 如圖所示，水平光滑軌道寬和彈簧自然長度均為d。m2的左邊有一固定擋板。ml由圖示位置靜止釋放，當(dāng)m1與m2相距最近時(shí)m1速度為v1，求在以后的運(yùn)動(dòng)過程中m1的最小速度和m2的最大速度。,解析：,m1與m2

10、相距最近時(shí)m1的速度v1為其最大速度，在以后的運(yùn)動(dòng)中，m1先減速，m2先加速；,當(dāng)兩者速度相等時(shí)，相距最遠(yuǎn)，此后m1將繼續(xù)減速，而m2將繼續(xù)加速。當(dāng)它們距再次相距d時(shí)，m1減速結(jié)束，而m2加速結(jié)束，此時(shí)m1與m2的速度v1/、v2/即為所求。以后m2將減速運(yùn)動(dòng)，而m1將加速運(yùn)動(dòng)，……,,此即彈性碰撞模型，則,例4：如圖,弧形斜面質(zhì)量為M,靜止于光滑水平上，一質(zhì)量為m的小球以速度VO向左運(yùn)動(dòng)，小球最多能升高到離水平面h處，求該系統(tǒng)產(chǎn)生的熱

11、量。,解：小球減少的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為小球的重力勢(shì)能和產(chǎn)生的熱量，即ΔEK=Q+ mgh,由完全非彈性碰撞模型知ΔEK=,所以Q=ΔEK－mgh= －mgh.,例5:如圖.質(zhì)量為m的小車靜止在光滑的水平軌道上,長為L的細(xì)線一端固定在小車上,另一端拴一質(zhì)量也為m的小球.現(xiàn)給小球一初速度V,求其能上升的最大高度為多少?,,解：當(dāng)小球上升到最高點(diǎn)時(shí),二者具有共同速度,符合上述模型的條件.系統(tǒng)減少的動(dòng)能ΔEK全部轉(zhuǎn)

12、化為小球的重力勢(shì)能ΔEP=m球gh,,,例6：如圖,在光滑的水平上,依次有質(zhì)量分別為m、2m、3m、…10m的10個(gè)小球,排成一直線,彼此有一定的距離.開始時(shí),后面的9個(gè)小球是靜止的,第一個(gè)小球以初速度VO向著第二小球碰去,結(jié)果它們先后全部粘合在一起向前運(yùn)動(dòng),由于連續(xù)地碰撞,系統(tǒng)損失的機(jī)械能為多少？,解：,把后面的9個(gè)小球看成一個(gè)整體，由完全非彈性碰撞模型,有,解：取人和氣球?yàn)閷?duì)象，系統(tǒng)開始靜止且同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，人下到地面時(shí)，人相對(duì)地的位

13、移為h，設(shè)氣球?qū)Φ匚灰芁，則根據(jù)推論有 ML=mh,例7:載人氣球原來靜止在空中，與地面距離為h ，已知人的質(zhì)量為m ，氣球質(zhì)量（不含人的質(zhì)量）為M。若人要沿輕繩梯返回地面，則繩梯的長度至少為多長？,2．人船模型,解：劈和小球組成的系統(tǒng)水平方向不受外力，故水平方向動(dòng)量守恒，且初始時(shí)兩物均靜止，故由推論知ms1=Ms2,其中s1和s2是m和M對(duì)地的位移，由上圖很容易看出：s1=b-s

14、2代入上式得，m(b-s2)=Ms2, 所以 s2=mb/(M+m)即為M發(fā)生的位移。,例8.一個(gè)質(zhì)量為M,底面邊長為 b 的劈靜止在光滑的水平面上，見左圖，有一質(zhì)量為 m 的物塊由斜面頂部無初速滑到底部時(shí)，劈移動(dòng)的距離是多少？,拓展：如圖所示，三個(gè)形狀不同，但質(zhì)量均為M的小車停在光滑水平面上，小車上質(zhì)量為m的滑塊，由靜止開始從一端滑至另一端，求在此過程中，小車和

15、滑塊對(duì)地的位移是多少？,解:滑塊與圓環(huán)組成相互作用的系統(tǒng)，水平方向動(dòng)量守恒。雖均做非勻速運(yùn)動(dòng)，但可以用平均動(dòng)量的方法列出動(dòng)量守恒表達(dá)式。,設(shè)題述過程所用時(shí)間為 t，圓環(huán) 的位移為s，則小滑塊在水平方向上對(duì)地的位移為（R-s），如圖所示.,即 Ms=m(R－s),拓展:如圖所示，質(zhì)量為M，半徑為R的光滑圓環(huán)靜止在光滑水平面上，有一質(zhì)量為 m 的小滑塊從與環(huán)心O等高處開始無初速下滑到達(dá)最低

16、點(diǎn)時(shí)，圓環(huán)發(fā)生的位移為多少？,取圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎?，由?dòng)量守恒定律得,例9.如圖所示，寬為d、質(zhì)量為M的正方形木靜止在光滑水平面上，一質(zhì)量m的小球由靜止開始沿“Z”字通道從一端運(yùn)動(dòng)到另一端，求木塊-和小球的對(duì)地位移.,解：,把小球和木塊看成一個(gè)系統(tǒng),由于水平方向所受合外力為零,則水平方向動(dòng)量守恒.,設(shè)小球的水平速度為v1、木塊的速度為v2，則有 mv1=Mv2若小球?qū)Φ匚灰茷?s1、木塊對(duì)地位移為s2，則有 ms1=Ms2,

17、且 s1+s2=d 解得,,,例10. 質(zhì)量為M的船靜止于湖水中，船身長L,船頭、船尾分別站著甲、乙兩人，甲的質(zhì)量為m1，乙的質(zhì)量為m2，且m1＞m2，求當(dāng)甲、乙兩人交換位置后，船身位移的大小是多少？,解析：,船及甲、乙兩人組成的系統(tǒng)水平方向不受外力作用，故水平方向動(dòng)量守恒，系統(tǒng)每時(shí)每刻總動(dòng)量為零，符合人船模型的條件。,甲、乙兩人互換位置相當(dāng)于質(zhì)量為（ml－m2）的人在質(zhì)量為M＋2m2的船上，從甲的位置走到乙的位置，如圖所

18、示。,可以應(yīng)用人船模型的結(jié)論,得船的位移：,,,例11、質(zhì)量為M=4.0kg的平板小車靜止在光滑的水平面上，如圖所示，當(dāng)t=0時(shí)，兩個(gè)質(zhì)量分別為mA=2kg、mB=1kg的小物體A、B都以大小為v0=7m/s。方向相反的水平速度，同時(shí)從小車板面上的左右兩端相向滑動(dòng)。到它們?cè)谛≤嚿贤Ｖ够瑒?dòng)時(shí)，沒有相碰，A、B與車間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，取g=10m/s2,求：（1）A在車上剛停止滑動(dòng)時(shí)，A和車的速度大?。?）A、B在車上都停止滑動(dòng)時(shí)

19、車的速度及此時(shí)車運(yùn)動(dòng)了多長時(shí)間。（3）在給出的坐標(biāo)系中畫出小車運(yùn)動(dòng)的速度——時(shí)間圖象。,解:(1)當(dāng)A和B在車上都滑行時(shí)，在水平方向它們的受力分析如圖所示：,由受力圖可知，A向右減速，B向左減速，小車向右加速，所以首先是A物塊速度減小到與小車速度相等。,設(shè)A減速到與小車速度大小相等時(shí)，所用時(shí)間為t1，其速度大小為v1，則：,v1=v0-aAt1 μmAg=mAaB ①v1=a車t1

20、 μmAg-μmBg=Ma車 ②,由①②聯(lián)立得：v1=1.4m/s t1=2.8s③,（2）根據(jù)動(dòng)量守恒定律有：mAv0－mBv0=(M+mA+mB)v ④ v=1m/s ⑤,,總動(dòng)量向右， 當(dāng)A與小車速度相同時(shí)，A與車之間將不會(huì)相對(duì)滑動(dòng)了。,設(shè)再經(jīng)過t2時(shí)間小物體A與B、車速度相同，則：－v=v1－aBt2 ⑥ μmBg=(mA＋m車)aB ⑦由⑥⑦式得：t2=1.2s

21、,所以A、B在車上都停止滑動(dòng)時(shí)，車的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=t1+t2=4.0s⑧,（3）由（1）可知t1=2.8s時(shí)，小車的速度為v1=1.4m/s，在0~t1時(shí)間內(nèi)小車做勻加速運(yùn)動(dòng)。在t1~t2時(shí)間內(nèi)小車做勻減速運(yùn)動(dòng)，末速度為v=1.0m/s,小車的速度—時(shí)間圖如圖所示,3．子彈打木塊模型,,例12 如圖所示，在光滑水平面上有一質(zhì)量為M的盒子，盒子中央有一質(zhì)量為m的小物體（大小可忽略），它與盒底部的摩擦系數(shù)為μ。盒子內(nèi)部長L，現(xiàn)給物體m以

22、水平初速v0向右運(yùn)動(dòng)。設(shè)物體與壁碰撞時(shí)無能量損失。求：（1）物體相對(duì)盒子靜止時(shí)，盒的速度大??；（2）物體m與盒壁碰撞的碰撞次數(shù)。,解析：,由m以v0開始運(yùn)動(dòng)到m與M相對(duì)靜止的全過程中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，符合子彈打木塊模型。即,mv0=（M＋m）v,,由,,可得,,,,所以,,例13、如圖所示,傾角θ＝370的固定斜面AB長L=12m,質(zhì)量為M=1kg的木塊由斜面上的中點(diǎn)C從靜止開始下滑,0.5s時(shí)被一顆質(zhì)量為m=20g的子彈以v0=60

23、0m/s沿斜面向上的速度正對(duì)木塊射入并穿出,穿出時(shí)速度u=100m/s.以后每隔1.5s就有一顆子彈射入木塊,設(shè)子彈射穿木塊的時(shí)間可忽略不計(jì)，且每次射入木塊對(duì)子彈的阻力都相同。已知木塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.25。(g取10m/s2，sin370＝0.60，cos370＝0.80)，求：⑴第一顆子彈從木塊中穿出時(shí)木塊的速度大小和方向。⑵木塊在斜面上最多能被多少顆子彈擊中。⑶在木塊從C點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到最終離開斜面的過程中，子彈、木

24、塊和斜面這一系統(tǒng)所產(chǎn)生的總熱量是多少。,解：,（1）木塊開始下滑時(shí): Mgsinθ—μMgcosθ=Ma1 a1 = g(sinθ—μcosθ) = 4m/s2,末速度　　v1 = a1t1 = 2m/s,設(shè)第一顆子彈穿過木塊時(shí)木塊的速度大小為V1/,方向沿斜面向上：　由動(dòng)量守恒定律: mv0－ Mv1 = mu + Mv1/ ∴ v1/ =　8m/s 方向沿斜面向上,

25、(2）木塊沿斜面上滑時(shí)：對(duì)木塊:由 －Mgsinθ－μMgcosθ=Ma2 ∴a2=－8m/s2,,上滑時(shí)間：,,上滑位移：,∵t2<1.5s ，∴第二顆子彈擊中木塊前，木塊上升到最高點(diǎn)P1后又會(huì)下滑0.5秒。,,故木塊到A點(diǎn)的最大距離為：,木塊從P1再次下滑0.5s秒后被第二顆子彈擊中，與第一顆子彈擊中后過程完全相同，故再次上滑的位移仍為4m. 9.5 + 4 – 0.5 = 13m ＞ 12m,由此可知，第二顆子彈擊

26、中木塊后，木塊將滑出斜面。故共有兩顆子彈擊中木塊。,（3） 全過程系統(tǒng)所產(chǎn)生的熱量可分兩部分：,①兩顆子彈穿過木塊所產(chǎn)生的內(nèi)能為：,,6940 J,②木塊在斜面上滑行時(shí)所產(chǎn)生的內(nèi)能：,∵木塊在斜面上滑行的總路程為:s=0.5+4+0.5+3= 8m,那么產(chǎn)生的內(nèi)能為：ΔU2 = μMgcosθs = 16 J,∴總?cè)^程系統(tǒng)所產(chǎn)生的熱量為:ΔU=ΔU1 +ΔU2 =6956J,,,,,,,,,,,例14：如圖甲,一質(zhì)量為0.4kg足

27、夠長且粗細(xì)均勻的絕緣細(xì)管置與水平地面上,細(xì)管內(nèi)表面粗糙,外表面光滑有一質(zhì)量為0.1kg電量為0.1C的帶正電小球沿管以水平向右的速度進(jìn)入管內(nèi)，細(xì)管內(nèi)徑略大于小球直徑,已知細(xì)管所在位置有水平方向垂直于管向里的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度為1特g取10m/s2),（2）若細(xì)管不固定,帶電小球以v0=20m/s的初速度進(jìn)入管內(nèi),且整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中細(xì)管沒有離開地面,則系統(tǒng)最終產(chǎn)生的內(nèi)能為多少?,(1)當(dāng)細(xì)管固定不動(dòng)時(shí),在乙圖中畫出小球在管中運(yùn)動(dòng)初速度和最

28、終穩(wěn)定速度的關(guān)系圖象（取水平向右為正方向,解：,帶正點(diǎn)的小球受力如圖,洛侖磁力隨速度的變化而變化，導(dǎo)致支持力、摩擦力的變化。,當(dāng)洛侖磁力等于重力時(shí)摩擦力為0.此時(shí), 小球 和細(xì)管的速度保持不變。達(dá)到穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)狀 態(tài).則：當(dāng)qvB=mg時(shí)v=mg/qB=10m/s,（1）當(dāng)初速度小于10m/s時(shí)，支持力方向向上，并隨速度的減小增大。所以

29、最終小球速度為0。,當(dāng)初速度大于10m/s時(shí)支持力方向向下，并隨速度的減小而減小，當(dāng)速度減小為10m/s時(shí)，支持力、摩擦力都為0，速度保持不變。,小球在管中運(yùn)動(dòng)初速度和最終穩(wěn)定速度的關(guān)系圖象如圖所示,（2）因?yàn)槌跛俣却笥?0m/s所以小球的最終速度是V1=10m/s.設(shè)此時(shí)小球和細(xì)管速度分別為V1、V2,,由動(dòng)量守恒定律mv0=mV1+MV2 ,解得：V2=2.5m/s,系統(tǒng)產(chǎn)生的熱能Q=½mV 02－½mV12－

30、½MV 22=13.75J,精品課件！,精品課件！,例15.如圖所示,在光滑的水平面上靜止著兩小車A和B，在A車上固定著強(qiáng)磁鐵，總質(zhì)量為5 kg,B車上固定著一個(gè)閉合的螺線管.B車的總質(zhì)量為10 kg.現(xiàn)給B車一個(gè)水平向左的100 N·s瞬間沖量,若兩車在運(yùn)動(dòng)過程中不發(fā)生直接碰撞,則相互作用過程中產(chǎn)生的熱能是多少?,解：,由于感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場總是阻礙導(dǎo)體和磁場間相對(duì)運(yùn)動(dòng),A、B兩車之間就產(chǎn)生排斥力,以A、B兩車

31、為研究對(duì)象,它們所受合外力為零.動(dòng)量守恒,當(dāng)A、B車速度相等時(shí),兩車相互作用結(jié)束,據(jù)以上分析可得：,I=mBvB=(mA+mB)v,vB=I/mB=100/10 m/s=10 m/s,,從B車運(yùn)動(dòng)到兩車相對(duì)靜止過程，系統(tǒng)減少的機(jī)械能轉(zhuǎn)化成電能，電能通過電阻發(fā)熱，轉(zhuǎn)化為焦耳熱.根據(jù)能量轉(zhuǎn)化與守恒：Q=½mBvB2－½ (mA+mB)v2 =½×10&#