十?dāng)?shù)【高等數(shù)學(xué)】

1、1第十章級(jí)數(shù)一、內(nèi)容分析與教學(xué)建議無(wú)窮級(jí)數(shù)概念的形成是伴隨著極限概念的形成而形成的，無(wú)窮級(jí)數(shù)的理論是伴隨著微積分理論的發(fā)展而發(fā)展起來(lái)的。如今，無(wú)窮級(jí)數(shù)是表達(dá)函數(shù)、數(shù)值計(jì)算等方面的重要工具，已經(jīng)滲透到科學(xué)技術(shù)的很多領(lǐng)域。（一）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、可通過(guò)圓的內(nèi)接多邊形逼近圓的面積等實(shí)例引入級(jí)數(shù)的概念。級(jí)數(shù)的收斂、發(fā)散及收斂級(jí)數(shù)的和是本章最基本的概念，要求學(xué)生正確理解，至于級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可結(jié)合例題說(shuō)明性質(zhì)的應(yīng)用，及注意和有限數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)相比較。如等

2、等。?????????????????1111121121nnnnnnn2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法是其他級(jí)數(shù)審斂法的基礎(chǔ)，應(yīng)予以足夠重視。比較審斂法是個(gè)難點(diǎn)，這個(gè)方法要點(diǎn)是：將所討論的級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)通過(guò)放大或縮小，使之與已知其審斂性的等比級(jí)數(shù)（或P–級(jí)數(shù)）一般項(xiàng)相聯(lián)系。要通過(guò)不斷運(yùn)用使學(xué)生理解并掌握。3、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)中，交錯(cuò)級(jí)數(shù)占有重要地位，不但要求學(xué)生學(xué)會(huì)其證明定理、領(lǐng)會(huì)其方法，而且要給學(xué)生指出萊布尼茲判別法僅僅是充分條件，而非必要條件，另外，

3、判別一個(gè)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)是否絕對(duì)收斂、條件收斂有技巧，因此要交給學(xué)生一個(gè)一般的判別步驟。4、義積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)都是“無(wú)限求和”的概念，研究的思想及方法類似，可通過(guò)類比無(wú)窮級(jí)數(shù)審斂法，達(dá)到廣義積分的審斂法。本講是選學(xué)內(nèi)容，可根據(jù)專業(yè)適當(dāng)取舍。（二）冪級(jí)數(shù)1、關(guān)于冪級(jí)數(shù)收斂域之特點(diǎn)，主要是通過(guò)阿貝爾定理來(lái)解決，可結(jié)合畫圖、分類討論說(shuō)明收斂半徑存在，并提示收斂域是一個(gè)連成一片的完整區(qū)間（特例）。0?R注：新大綱規(guī)定，收斂區(qū)間=收斂域；2、關(guān)于收斂半徑

4、的求法，要交代其基本思想是正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法（通常用比值或根值），并通過(guò)幾個(gè)典型例題給出其一般常見情形收斂半徑之求法；3、將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)以及求冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)是本章的又一難點(diǎn)，它們是一個(gè)問(wèn)題的兩個(gè)方面，討論方法也是類同的?；舅枷胧寝D(zhuǎn)化為六個(gè)基本初等函3二、補(bǔ)充例題例1設(shè)正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少，且發(fā)散，試問(wèn)級(jí)數(shù)是否收斂？na????1)1(nnna????????????111nnna并說(shuō)明理由解：級(jí)數(shù)收斂，理由如下：???????

5、?????111nnna由于正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少且有下界，故存在，且；若na0aann??0lim0?a0?a，則由萊不尼茲判別法知交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，這與題設(shè)矛盾，故，于????1)1(nnna0?a是知而是公比的幾11111????aannnnaa?????????????????1111??????????111nna111??a何級(jí)數(shù)，故收斂。由比較判別法知原級(jí)數(shù)收斂。?????11121?????????????????kkkkkkaa