曾謹言量子力學導論答案

1、似水驕陽1第一章量子力學的誕生1.1設質量為m的粒子在一維無限深勢阱中運動，???∞=axaxxxV000)(試用deBroglie的駐波條件，求粒子能量的可能取值。解：據(jù)駐波條件，有)321(2?=?=nnaλna2=∴λ（1）又據(jù)deBroglie關系λhp=（2）而能量()???321242222222222222==?===nmanamnhmmpEπλ（3）1.2設粒子限制在長、寬、高分別為cba的箱內運動，試用量子化條件求粒子

2、能量的可能取值。解：除了與箱壁碰撞外，粒子在箱內作自由運動。假設粒子與箱壁碰撞不引起內部激發(fā)，則碰撞為彈性碰撞。動量大小不改變，僅方向反向。選箱的長、寬、高三個方向為zyx軸方向，把粒子沿zyx軸三個方向的運動分開處理。利用量子化條件，對于x方向，有()∫==??321xxxnhndxp即hnapxx=?2（a2：一來一回為一個周期）ahnpxx2=∴同理可得，bhnpyy2=chnpzz2=?321=zyxnnn粒子能量???????

3、?==222222222222)(21cnbnanmpppmEzyxzyxnnnzyx?π?321=zyxnnn1.3設質量為m的粒子在諧振子勢2221)(xmxVω=中運動，用量子化條件求粒子能量E的可能取值。提示：利用)]([221xVEmpnnhxdp?===?∫?)(xV解：能量為E的粒子在諧振子勢中的活動范圍為ax≤（1）其中a由下式決定：221()2xaEVxmaω===。a?0ax似水驕陽3VTrdVmE=????????

4、??=∫3222ψψ?（1）∫=ψψVrdV3（勢能平均值）（2）()()()[]∫∫????????=??????????=ψψψψψψ322232)(2動能平均值rdmmrdT??其中T的第一項可化為面積分，而在無窮遠處歸一化的波函數(shù)必然為0。因此ψψ???=∫322rdmT?（3）結合式（1）、（2）和（3），可知能量密度22Vmωψψψψ=????（4）且能量平均值3Edrω=?∫。（b）由（4）式，得222222222222V

5、VtmttttVVmttttttsVVtmtmsEtωψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψ???????????=????????????????????????????????????=????????????????????????????????=????????????????????=???????????tψ????????ρtEs?????=?（ρ：幾率密度）s????=（定態(tài)波函數(shù)，幾率密度ρ不隨時間改