線性代數(shù)主要知識點

1、1《線性代數(shù)》的主要知識點《線性代數(shù)》的主要知識點第一部分行列式概念：1n階行列式展開式的特點：①共有n!項，正負(fù)各半；②每項有n個元素相乘，且覆蓋所有的行與列；③每一項的符號為（列）行）????()1(2元素的余子式以及代數(shù)余子式ijjiijM)1(A???3行列式的性質(zhì)計算方法：1對角線法則2行列式的按行（列）展開(另有異乘變零定理)第二部分矩陣1矩陣的乘積注意：①不滿足交換率（一般情況下）BAAB?②不滿足消去率（由AB=AC不能

2、得出B=C）③由AB=0不能得出A=0或B=0④若AB=BA，則稱A與B是可換矩陣2矩陣的轉(zhuǎn)置滿足的法則：，TTTBA)BA(???TTTTTABABkAkA??)()(3矩陣的多項式設(shè)，A為n階方陣，則nnxaxaax?????10)(?稱為A的n次多項式。nnAaAaEaA?????10)(?對與對角矩陣有關(guān)的多項式有結(jié)論如下：（1）如果，則1???PPAnnAaAaEaA?????10)(?=11110?????????PPaPP

3、aEPPann?1)(??PP?（2）若，則)(21naaadiag???))()()(()(21naaadiag???????4逆矩陣：階矩陣A，若，則AB互為逆矩陣。nBEBAAB??n階矩陣A可逆；0A??（或表示為）即A為滿秩矩陣；nAr??)(nAR?)(A與E等價；?A可以表示成若干個初等矩陣的乘積；?A的列（行）向量組線性無關(guān)；?A的所有的特征值均不等于零?3；)]([)]([1kjiEkijE???初等矩陣的行列式分別是

4、1，k1。8矩陣的初等變換：初等行變換:下面三種變換稱為矩陣的初等行變換：①對調(diào)兩行；記為對換第行jirr?ji與②以數(shù)乘某一行中的所有元素；記為第行乘0?kkri?ik③把某一行所有元素的倍加到另一行對應(yīng)的元素上去；記為第行倍加到第kjikrr?jki行上。把定義中矩陣的行換成列，即得矩陣的初等列變換的定義.矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱矩陣初等變換矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系：矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系：設(shè)A是一個矩陣，則n

5、m?①對A施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣；m②對A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣n9矩陣的等價：如果矩陣經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與矩陣B等價。A且若矩陣經(jīng)過有限次初等行變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B行等價；A若僅經(jīng)過初等列變換，就稱A與B列等價。設(shè)為矩陣BAnm?①與行等價階可逆矩陣，使得AB??mPBPA?②與列等價階可逆矩陣，使得AB??nQBAQ?③等價階可逆矩陣

6、，階可逆矩陣，使得BA??mPnQBPAQ?利用矩陣的初等變換解矩陣方程，，可以：BAX?BAX1??)(BA??????初等行變換)(1BAE??，，可以：，從而解出X。BXA?1??BAX)(TTBA??????初等行變換)(TXE?10矩陣的秩：非零子式的最高階數(shù)。記為）（或AR)A(r求法：A行階梯形矩陣B，=B的非零行的行數(shù)。?????初等行變換）（AR相關(guān)公式：①若A是矩陣，則nm?min)(0mnAR??②③=)()(AR