《大學(xué)高等數(shù)學(xué)經(jīng)典》ppt課件

1、(函 數(shù)與 極 限),第一章 函數(shù)與極限,第一節(jié) 映射與函數(shù),一、集合,1、概念,具有某種特定性質(zhì)的事物的總體;,組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素.,元素a屬于集合M,,元素a不屬于集合M,,記作,記作,2、集合的表示法,列舉法,描述法,３、集合間的關(guān)系,例1 數(shù)集,N----自然數(shù)集,Z----整數(shù)集,Q----有理數(shù)集,R----實(shí)數(shù)集,它們間關(guān)系:,例2,不含任何元素的集合稱為空集，記作,例如,,規(guī)定,空集為任何集合的

2、子集.,4、運(yùn)算,設(shè)A、B是兩集合,,則,交 “A?B”,?,{x?x?A且x?B},并 “A?B”,?,{x?x?A或x?B},差“A－B”,?,{x?x?A但x?B},補(bǔ)（余）,?,I－A,（其中 I 為全集）.,５、其運(yùn)算律,（1） A ? B = B ? A,A ? B = B ? A,（2）(A ?B) ? C = A ? (B ? C),(A ? B) = A ? (B ? C),（3）(A ? B) ? C = (A ?

3、C) ? (B ? C),(A ? B) ? C = (A ? C) ? (B ? C),（4）,注:,A與B的直積 A?B,?,{(x, y)?x?A 且 y?B},例如：R?R =,{(x, y)?x?R 且 y?R},表示xoy面上全體點(diǎn)的集合,R?R常記為,R2,,2、區(qū)間,是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù). 這兩個(gè),稱為開區(qū)間,,,,,,實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).,,稱為閉區(qū)間,,,,,,稱為半開區(qū)間,,稱為半開區(qū)間,,有限區(qū)間,

4、,,,,,,,,,,,,無限區(qū)間：,區(qū)間長度的定義:,兩端點(diǎn)間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.,,,,3、鄰域,,,,,記作,注意：鄰域總是開集。,設(shè)X,Y是兩個(gè)非空集合,如果存在一個(gè)法則 f，使得對X中每個(gè)元素x，按法則 f，在Y中有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，則稱f 為從X到Y(jié)的映射.,二、映射,1、概念,記作 f ：X→Y .,其中y稱為元素x(在映射f下)的像，記作f(x)，即y=f(x),元素x稱為元素y(在映射f下

5、)的原像,集合X稱為映射f的定義域,記作Df ,即Df=X,X中所有元素的像所組成的集合稱為映射 f 的值域，記作Rf或 f(X)，即,對應(yīng)法則f,使對每個(gè)x∈X,有唯一確定的y=f(x)與之對應(yīng).,注:,1。構(gòu)成映射的三個(gè)要素:,集合X,即定義域Df =X;,集合Y,即值域的范圍:Rf,Y;,但定義域一定等于集合X.,,,X,Y,x,,y,f,Rf,,x2,,2。對每個(gè)x∈X,元素x的像是唯一的;,而對每個(gè)y∈Rf ,元素y的原像

6、不一定是唯一的;,映射f的值域Rf是Y的一個(gè)子集,,即Rf,Y,,不一定Rf =Y.,顯然，f是一個(gè)映射，f的定義域Df=R值域Rf = { y | y≥0},它是R的一個(gè)真子集. 對于Rf中的元素y,除y=0外,它的原像 不是唯一的. 如 y = 4的原像就有 x = 2，x = -2兩個(gè).,例4 設(shè) X ={(x,y)|x2+y2=1},Y={(x,0)||x|≤1}，f :X→Y,對每個(gè)(x,y)∈X，值域Rf

7、= Y.,例3 設(shè)f:R→R,對每個(gè)x∈R, f(x) = x2.,在幾何上,這個(gè)映射表示把平面上一個(gè)圓心在原點(diǎn)的單位圓周上的點(diǎn)投影到x軸的區(qū)間[-1,1]上.,設(shè)f是從集合X到集合Y的映射,若Rf=Y,即Y中任一元素y都是X中某元素的像,則稱f為X到Y(jié)上的映射或滿射;,若對X中任意兩個(gè)不同元素x1≠x2它們的像 f(x1)≠f(x2)，則稱f為X到Y(jié)的單射(或“如果f(x1)=f(x2)，就有x1=x2)；,若映射f

8、 既是單射，又是滿射，則稱f 為一一映射(或雙射).,定義,例5的映射不是單射,是滿射.(Y[-1,1]表示滿射,X:(x =0,y=1)→Y:(0,0) X:(x =0,y =-1) →Y:(0,0))；,例4中的映射，既非滿射(y =-2，不是X中的某元素的像)，又非單射(x1=2,x2=-2,它們的像相等).,從非空集X到數(shù)集Y的映射稱為X上的泛函.,映射又稱算子，在不同的數(shù)學(xué)分支中，有不同的慣用名稱：,從實(shí)數(shù)集X到

9、實(shí)數(shù)集Y的映射通常稱為定義在X上的函數(shù).,從非空集X到它自身的映射又稱為X上的變換.,設(shè)f是X到Y(jié)的單射,則對每個(gè)y∈Rf ,有唯一的x∈X適合f(x)=y,定義一個(gè)新的映射g:Rf→X，對每個(gè)y∈Rf ,規(guī)定g(y)=x,這x滿足f(x)=y.,2.逆映射與復(fù)合映射,1）逆映射,這個(gè)映射g稱為f的逆映射,,記作f -1.,定義域Df-1=Rf ,值域Rf-1=X,因?yàn)閺腦→Y對Y要求唯一的,而Y→X又是唯一的,故只有單

10、射.,注：只有單射才存在逆映射.,2）復(fù)合映射,設(shè)有兩個(gè)映射,g: X→Y1, f : Y2→Z,(Y1,Y2),則由g和f 可確定了一個(gè)從X到Z的映射,它將每個(gè)x∈X映成f [g(x)]∈Z,,這個(gè)映射稱為映射g和f構(gòu)成的復(fù)合映射,,記作f · g,,即,f · g: X→Z,(f · g)(x)=f [g(x)], x∈X,f · g有意義并不表示g · f 也有意義.即使

11、f · g與g · f 都有意義,復(fù)合映射g · f 和f · g也不一定相同.,注 1。映射g和f 構(gòu)成復(fù)合映射的條件:,g的值域Rg必須包含在 f 的定義域內(nèi),,即Rg,Df .,否則, 不能構(gòu)成復(fù)合映射.,2。映射g和f 的復(fù)合是有順序的：,證明: 充分性 (由條件推出結(jié)果)設(shè) f 是X→Y 的雙射. 在Y上任一元素y必定存在唯一的x∈X, 使 y = f (x).

12、 (1) 從Y →X 的映射 f –1: Y →X. (2),例5 f是X到Y(jié)上可逆映射的充分必要條件是f為X到Y(jié)的雙射.,對任何x∈X, 由(1),(2)可得 f –1f (x) = f –1( f (x)) = f –1(y) = x. 即f –1f = Ix反之. 對任何y

13、∈Y, 由(2), (1)可得 f f –1 (y) = f ( f –1(y)) = f (x) = y. 即 f f –1 = Iy,必要性 (由結(jié)果推出條件) f 是可逆的,存在 f –1: Y→X 使 f –1f = Ix , f f –1 =Iy 對X中任意兩個(gè)元素x1, x2, 當(dāng) f (x1) = f (x2)時(shí) x1= f –1f (x1) = f

14、 –1(f (x1)) = f –1(f (x2)) = f –1f (x2) = x2 f 是單射 另一方面, 對任意 y∈Y, y = f f –1(y) = f (f –1(y)) (3)由(3)我們得到 f (X ) = Y, 則 f 是X→Y 的雙射.,例6 設(shè),三、函數(shù),1、函數(shù)概念,其中 f 是對應(yīng)規(guī)則，D稱為函數(shù)的定義域，x 叫做自變量，y就是函數(shù)(因變量).,W={y|y

15、= f(x)，x∈D},定義1,全體函數(shù)值的集合稱為值域：,設(shè)數(shù)集D R,則稱映射 f : D→R為定義在D上的函數(shù)，記作,函數(shù)定義中對應(yīng)規(guī)則要求每一個(gè)x值只有一個(gè)y值與之對應(yīng)，所以此例也不是函數(shù)關(guān)系.,例7 y = sin-1(2+x2),對于任何函數(shù)x，都沒有按規(guī)定與之對應(yīng)的y值,函數(shù)定義域不能是空集，所以此例不是函數(shù)關(guān)系.,例8 x > y,每一個(gè)x值有無窮多個(gè)y值與之對應(yīng),注：x(自變量)， y(函數(shù)

16、)，f(對應(yīng)規(guī)則)， D(定義域)，W(值域)這五個(gè)要素中, 定義域和對應(yīng)規(guī)則是最重要的兩個(gè)要素.,如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)法則也相同，則這兩個(gè)函數(shù)是相同的。,注：1。在定義1中, 對于每一個(gè)x, 只能有一個(gè)y與它對應(yīng),這種函數(shù)稱為單值函數(shù)；否則為多值函數(shù).,多值函數(shù)是一個(gè)x值對應(yīng)二個(gè)或二個(gè)以上的y值.,2。函數(shù)的表示方法: 解析法（公式法），圖象法和列表法,,,,,,,,,,y = f(x),C(x, y),

17、,,x,,W,y,x,y,D,3。在xoy平面上，當(dāng)x取遍D上的每一個(gè)數(shù)值時(shí)，就可以得到點(diǎn)(x, y)的一個(gè)集合：C ={(x, y)| y = f (x), x∈D}, 這個(gè)集合 C 稱為函數(shù)y = f (x)的圖形,其中D, W分別是函數(shù)y=f(x)的定義域和值域.,例9 函數(shù),稱為絕對值函數(shù),它的定義域D=R值域W=[0,+∞),例10,,-1, x < 0,0, x = 0,1, x &g

18、t; 0,稱為符號函數(shù),它的定義域D = R,值域W = {-1,0,1},例9，例10中的函數(shù)要用兩個(gè)以上的式子表示，這種在自變量的不同變化范圍內(nèi)，對應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù).,例11 y=[x](x∈R), 表示不超過x的最大整數(shù),稱取整函數(shù).,例12 定義在[0,1]上的函數(shù),1, 當(dāng)x為有理數(shù);,0, 當(dāng)x為無理數(shù),,,Dirichlet函數(shù),它不能用解析法,圖象法和列表法來表示,只

19、能用描述法表示,定義域D=R,值域W =Z,其圖形稱為階梯曲線,躍度為1.,例如 [2.99]=2,[π]=3,[-3.14]= －4.,例13 設(shè)函數(shù) f (x) =,1, |x|≤1;,0, |x|>1,,,求 f (f (x)).,解:,前面的函數(shù)值為1, 由定義可知它的函數(shù)為1, 后面的函數(shù)為0, 由定義可知它為1,2、函數(shù)的幾種特性,如果存在某個(gè)常數(shù)M，對于一切x∈X，總有f(x)≤M（或 f(x)≥ M

20、），則稱函數(shù)f(x)在X上有上（下）界M；,1）有界性,否則稱函數(shù)f(x)在X上無界.,注 1。上（下）界不是唯一的,3。有界函數(shù)圖象的特點(diǎn)是它完全位于平行于x軸的兩條直y=±M之間.,2。若函數(shù)f(x)在X上有上界,又有下界則稱為有界函數(shù).,因此若f(x)為X上的有界函數(shù),則必定存在某個(gè)正數(shù)M，對于一切x∈X，恒有 | f(x)|≤M.,常見的有界函數(shù)有6個(gè)：,例14 函數(shù) f (x) = x/(1+x2)在定

21、義域內(nèi)為( )(a)有上界無下界 (b)有下界無上界 (c)有界, 且-1/2≤ f (x)≤1/2 (d)有界, 且-2≤ f (x)≤2,解:,(c)有界, 且-1/2≤ f (x)≤1/2,任意x1< x2, 總有f (x1)≤f (x2) (或f (x1)≥f (x2) ),則稱f (x)是單調(diào)遞增(減)的.,2）單調(diào)性,滿足這些

22、條件的函數(shù),都稱為單調(diào)函數(shù).,特別當(dāng)x1f(x2) ), 則稱 f (x)是嚴(yán)格遞增(減)的.,圖形是遞升(降)的.,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對稱, 如果對于任意x∈D, 都有f (-x)= -f (x)（或f (-x)=f (x)）,則稱f (x)為奇(偶)函數(shù).,3）奇偶性,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D(-∞,+∞),如果存在 一個(gè)正數(shù)L，使得對于任意x∈D,當(dāng)x±L ∈D,有f(x)=f(x 

23、7;L )，則稱f(x)為D上的周期函數(shù). L為它的一個(gè)周期.,4）周期性,2。如果f(x)的周期為L,則在此函數(shù)的定義域內(nèi)每個(gè)長度為L的區(qū)間上,函數(shù)通圖形周而復(fù)始地重復(fù)出現(xiàn),即具有相同的形狀.,(1)函數(shù)的定義域是有界的,則一定不是周期函數(shù).,1。函數(shù)的周期有無數(shù)多個(gè),通常我們說的周期是指最小正周期.,注,3。判定函數(shù)是否周期函數(shù)可根據(jù):,(2)如果函數(shù)是周期函數(shù),則它的零點(diǎn)一定有周期性.,設(shè)函數(shù)y=f(x),x∈D,

24、值域W=f(D). 若對于W上每一個(gè)y0 ,D上有且只有一個(gè)值x0與它對應(yīng),即使得f(x0)=y0. 這樣可以在W=f(D)上確定一個(gè)函數(shù), 稱為y=f(x)的反函數(shù),記作,1。如果x=f -1(y)稱為反函數(shù),則y=f(x)稱為原函數(shù). 對應(yīng)規(guī)則是一一對應(yīng)的，定義域和值域、原函數(shù)和反函數(shù)彼此交換.,3、反函數(shù),x=f-1(y), y∈W=f(D),（或 f -1: y→x; f -1: f(D)→D）,注,2。習(xí)

25、慣上,用x表示自變量,用y表示因變量,函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)一般寫為y=f -1(x), x∈f(D).,3。互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)y=f(x)和y=f -1(x)在同一個(gè)坐標(biāo)系中的圖象是對稱于直線 y = x 的.,格上升,它有反函數(shù)在x∈[0,+∞)上嚴(yán)格遞增的.,例如, 由函數(shù)y=x2(x ∈R), 解出x=±,4。具有反函數(shù)的函數(shù)必是單調(diào)函數(shù).,因此嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，且嚴(yán)格上升（下降）函數(shù)的反函數(shù)

26、是嚴(yán)格上升（下降）的.,遞減,它有反函數(shù)是嚴(yán)格遞減的;,所以y=x2在R上沒有反函數(shù);,(y>0), 不是單調(diào)的.,而y=x2在x∈(-∞, 0]上嚴(yán)格,但y=x2在x∈[0,+∞)上嚴(yán),定理1 嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)必存在反函數(shù),且其反函數(shù)具有相同的嚴(yán)格單調(diào)性.,① 從y=f(x)中解出x. 得到x=f -1(y) (要求單值,否則認(rèn)為給定函數(shù)在其定義域內(nèi)沒有反函數(shù)) ;,② 把字母x, y交換位置,得到反函數(shù) y=f-1(

27、x).,5。求反函數(shù)的步驟:,y=f(u)（u ∈E），u=g(x)（x ∈D）,設(shè)D1表示D中使 g(x)∈E 的所有x構(gòu)成非空集,即D1={x|g(x) ∈E, x ∈D}≠φ,若對于D1中任何一個(gè)x值,通過函數(shù)u=g(x)對應(yīng)E中唯一的一個(gè)值u,又通過函數(shù)y=f(u)對應(yīng)y的一個(gè)唯一值,因此對于每一個(gè)x ∈D,變量y都有一個(gè)確定的值與之相對應(yīng),這就得到一個(gè)確定在數(shù)集D1上的函數(shù)，即,4、復(fù)合函數(shù),已知兩個(gè)函數(shù),

28、它由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)經(jīng)過復(fù)合運(yùn)算而得到, 稱它為復(fù)合函數(shù), 也稱為復(fù)合映射,其中y=f(u)為外函數(shù),u=g(x)為內(nèi)函數(shù), u也稱為中間變量.,復(fù)合函數(shù)是函數(shù)的函數(shù).,設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域依次為D1,D2,D=D1∩D2≠φ,則可定義這兩個(gè)函數(shù)的下列運(yùn)算:,5、函數(shù)的運(yùn)算,和(差) f±g: (f±g)(x)=f(x)±g(x), x∈D;,商 f /g:

29、 (f /g)(x)=f(x)/g(x), x∈D\{x|g(x)=0},積 f · g: (f · g)(x)=f(x)·g(x), x∈D;,6、基本初等函數(shù),（1）常(量)函數(shù) y = C,（2）冪函數(shù) y = xn（n∈R）,（3）指數(shù)函數(shù) y = ax（a > 0, a≠1）,（4）對數(shù)函數(shù) y = logax（a > 0, a ≠1）, 0 &

30、lt; x < + ∞,特別 a=e，y=lnx,sinx, - ∞< x < ∞cosx, - ∞< x < ∞tanx, x≠(2k+1)π/2cotx, x≠kπ, secx, x≠(2k+1)π/2cscx, x≠kπ,（5）三角函數(shù),arcsinx, -1≤x≤1, -π/2

31、 ≤y≤π/2 arccosx, -1≤x ≤1, 0 ≤y ≤πarctanx, - ∞<x< ∞, -π/2 ≤y≤π/2 arccotx, - ∞<x< ∞, 0 ≤y ≤π,（6）反三角函數(shù),由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有

32、限次復(fù)合步驟所構(gòu)成,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),都稱為初等函數(shù).,除了初等函數(shù)外，還有非初等函數(shù)，例如y = [x], y = D(x), 它們屬于高等超越函數(shù)的范疇.,例如函數(shù),雙曲正切,7、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù),雙曲正弦,雙曲余弦,雙曲正弦的定義域?yàn)?-∞,+∞);它是奇函數(shù)圖形通過原點(diǎn)且關(guān)于原點(diǎn)對稱,在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)是單調(diào)遞增.當(dāng)|x|很大時(shí),圖形在第一象限接近ex/2.在第4象限接近- ex/2,雙曲余弦的定義

33、域同左,它是偶函數(shù).圖形過(0,1)點(diǎn)且關(guān)于y軸對稱.在(-∞,0)單調(diào)下降, (0,∞)單調(diào)升. ch0=1是函數(shù)的最小值.且接近ex/2和- ex/2.,雙曲正切的定義域同左,它是奇函數(shù).圖形過原點(diǎn)且原點(diǎn)對稱,在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)上升的.圖形在y= -1, y=1之間,以它們?yōu)闈u近線.,注：根據(jù)雙曲函數(shù)的定義,可證明下列四個(gè)公式:,它們和三角函數(shù)相似,把它們對比一下可幫助記憶,雙曲函數(shù) y = shx, y = chx, y =

34、 thx的反函數(shù)依次為 反雙曲正弦 y = arshx. 反雙曲余弦 y = archx 反雙曲正切 y = arthx.,四、小結(jié),函數(shù)的分類:,函數(shù),,初等函數(shù),非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無窮多項(xiàng)等函數(shù)),,代數(shù)函數(shù),超越函數(shù),,有理函數(shù),無