線性代數(shù)(王定江)第5章答案

1、 - 1-習 題 五 1. 證明 { }T 2 2 ( , ) | 1, , x y x y x y R + ≤ ∈ V = 不是 2 R 的一個子空間. 證明: 設 ( )2 1, 0 T R α = ∈ , 顯然 V α ∈ , 但是 ( )2 2 2, 0 T R α = ∈ 但 2 V α ? , 所以V 不是2 R 的一個子空間. 2. 證明: 等價的兩個向量組生成同一個向量空間. 證明: 設向量組 1 2

2、 : , , , m A α α α L 和向量組 1 2 : , , , n B β β β L 等價, 則存在系數(shù)矩陣 1 C和 2 C 使得 ( ) ( ) 1 2 1 2 1 , , , , , , m n C α α α β β β = L L , ( ) ( ) 1 2 1 2 2 , , , , , , n m C β β β α α α = L L . 設向量組 A 和向量組 B 生成的向量空間分別為 ( ) 1

3、1 2 , , , m L span α α α = L , ( ) 2 1 2 , , , n L span β β β = L . 則對任意向量 1 x L ∈ , 存在系數(shù) 1 2 , , , m λ λ λ L 使得1 1 2 2 m m x λα λ α λ α = + + + L , 進而有 ( ) ( )1 12 21 2 1 2 1 , , , , , , m mm mx Cλ λλ λ α α α β β βλ λ

4、? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? = = ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?L L M M . 記 1 12 21m mCµ λµ λµ λ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? = ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?M M , 則 ( )12 1 2 1 1 2 2 , , , m m mmxµµ β β β µ β µ β µ

5、; βµ? ? ? ? ? ? = = + + + ? ? ? ? ? ?L L M , - 3-( )2 12 14 13 2 1 2 3 4 41 3 2 4 1 3 2 43 9 1 5 0 0 5 7 , , , , 2 6 4 3 0 0 0 54 12 2 7 0 0 10 91 11 23 55 1r r r rr r α α α α β+ ?+? ? ? ? ?? ? ? = ??? →? ? ? ? ?? ?

6、 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?2 1 24 2 31 2 5 1 10 51 1 3 2 4 1 3 0 6 5 1 50 0 1 7 5 2 5 0 0 1 7 5 2 50 0 0 1 1 0 0 0 1 10 0 10 9 0 0 0 5 1 5r r rr r r??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?

7、 ? ?? → ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?→?1 32 34 365 75 51 3 0 00 0 1 00 0 0 10110 0 010r rr rr r++?? ? ?? ?? ?? ?????? ? ?→? ?, 由 A的行最簡形得, 子空間 1 2 3 4 ( , , , ) Span α α α α 的一組基為 1 3 4 , , α α α , 其維數(shù)為 3, 且 β 在 1 2 4 , , α α

8、α 下的坐標為( ) 1,1,1 . 5. 設 T T T1 2 3 (1,0, 1) , (2,1,0) , (1,1,0) = ? = = α α α , 證明向量組 1 2 3 , , α α α 是 3 R 的一組基, 并求向量 T (5,2, 2) = ? β 在這組基下的坐標. 證明: 對矩陣 ( ) 1 2 3 , , , A α α α β = 做初等行變換, 即 ( )3 1 1 2 31 2 1 5 1 2

9、1 50 1 1 2 0 1 1 21 0 0 2 1, , ,0 2 3r r α α α β +? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ??= ? →1 3 3 1 23 2 2 3221 0 1 1 1 0 0 2 1 0 0 20 1 1 2 0 1 0 1 0 1 0 10 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1r r r r rr r r r? ? ?? + ??? → ??? ?

10、 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? → ? →? ??? ?, 由 A的行最簡形得, 向量組 1 2 3 , , α α α 線性無關, 因此是 3 R 的一組基, 且T (5,2, 2) β = ? 在此組基下的坐標為(2,1,1) . 6*. 在 3 R 中 取 兩 組 基 : T T T1 2 3 (1,2,1) , (2,3,3) , (3,7