現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展趨勢資料

1、第四章 第四章 現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展趨勢 現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展趨勢一、現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展趨勢內(nèi)容概括 一、現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展趨勢內(nèi)容概括與古典數(shù)學相比，現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展從思想方法的角度看具有一些新的特征，本章內(nèi)容通過數(shù)學的統(tǒng)一性、數(shù)學在自然科學和社會科學中的廣泛應用、數(shù)學機械化的產(chǎn)生與發(fā)展及其意義、計算機促進計算數(shù)學的發(fā)展、計算機促進數(shù)學中新學科的發(fā)展這些方面來認識和理解現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展趨勢。下面從以下幾個方面來分析：● 數(shù)學的統(tǒng)一性● 數(shù)學應用的廣泛性● 計

2、算機與數(shù)學發(fā)展1．數(shù)學的統(tǒng)一性所謂統(tǒng)一性，就是部分與部分、部分與整體之間的協(xié)調一致?？陀^世界具有統(tǒng)一性，數(shù)學作為描述客觀世界的語言必然也具有統(tǒng)一性。數(shù)學的統(tǒng)一性是客觀世界統(tǒng)一性的反映，是數(shù)學中各個分支固有的內(nèi)在聯(lián)系的體現(xiàn)。它表現(xiàn)為數(shù)學的各個分支相互滲透和相互結合的趨勢?！?數(shù)學的統(tǒng)一性發(fā)展的三個階段（1）數(shù)學從經(jīng)驗積累到嚴格的演繹體系建立，其特征逐步明顯，在中世紀時，從研究對象和方法來看，初等數(shù)學有了一定的統(tǒng)一性。特別是 17 世紀解析

3、幾何的誕生，使數(shù)學中的代數(shù)與幾何統(tǒng)一起來，說明統(tǒng)一性是數(shù)學的特征。生了變革，結果是數(shù)學分支愈來愈多，數(shù)學表現(xiàn)的更加多樣化。因此，需要重新認識數(shù)學的統(tǒng)一性。為此，數(shù)學家們作了很多努力，到 20 世紀 30 年代，法國的布爾巴基（Bourbaki）學派提出，利用數(shù)學內(nèi)在聯(lián)系和公理化方法從數(shù)學各個分支中提煉出各種數(shù)學結構。他們認為數(shù)學的發(fā)展無非是各種結構的建立和發(fā)展，“數(shù)學好比一座大城市。城市中心有些巨大的建筑物，就好比是一個個已經(jīng)建成的數(shù)學

4、理論體系。城市的郊區(qū)正在不斷地并且多少有點雜亂無章地向外伸展，他們就好像是一些尚未發(fā)育成型的正在成長著的數(shù)學新分支。與此同時，市中心又在時時重建，每次都是根據(jù)構思更加清晰的計劃和更加合理的布局，在拆毀掉舊的迷宮似的斷街小巷的同時，將修筑起新的更直、更寬、更加方便的林蔭大道通向四方，……。”(2)布爾巴基學派在集合論的基礎上建立了三個基本結構（即代數(shù)結構、序結構和拓撲結構），然后根據(jù)不同的條件，由這三個基本結構交叉產(chǎn)生新的結構，如分析結構

5、、布爾代數(shù)結構等等。他們認為整個數(shù)學或大部分數(shù)學都可以按照結構的不同而加以分類，用數(shù)學結構能統(tǒng)一整個數(shù)學，各個數(shù)學分支只是數(shù)學結構由簡單到復雜，由一般向特殊發(fā)展的產(chǎn)物。數(shù)學的不同分支是由這些不同的結構組成的，而這些結構之間的錯綜復雜的聯(lián)系又把所有的分支連成一個有機整體。因此可以說，布爾巴基學派用數(shù)學結構顯示了數(shù)學的統(tǒng)一性。（3）20 世紀下半葉，數(shù)學已經(jīng)發(fā)展成一個龐大的理論體系，數(shù)學分工愈來愈細，分支愈來愈多，分支之間的聯(lián)系愈來愈不明顯

6、，但是，數(shù)學學科的統(tǒng)一化趨勢也在不斷加強，主要體現(xiàn)在數(shù)學的不同分支領域的數(shù)學思想和數(shù)學方法相互融合，導致了一系列重大發(fā)現(xiàn)以及數(shù)學內(nèi)部新的綜合交叉學科的不斷興起：例如微分拓撲學的建立、發(fā)展；整體微分幾何研究的突破；代數(shù)幾何領域的進展；多復變函數(shù)理論以及其他數(shù)學分支的突破和發(fā)展都有密切的聯(lián)系。 來描述。這樣，廣義相對論的數(shù)學表述第一次揭示了非歐幾何的現(xiàn)實意義，成為歷史上數(shù)學應用最偉大的例子之一。自然科學研究存在著兩種方式：定性研究和定量研究

7、。定性研究揭示研究對象是否具有某種特征，定量研究揭示研究對象具有某種特征的數(shù)量狀態(tài)。精確的定量研究使人們能夠對客觀事物的認識從現(xiàn)象上升到本質，從而可能有精確的科學預見功能。數(shù)學是實現(xiàn)定量研究的必要條件。所以，一門科學只有當它與數(shù)學充分地融合，才可能精確地揭示客觀事物的狀態(tài)和變化規(guī)律，才會顯示其真正的價值。因此，自然科學研究必然要經(jīng)過定量研究過程，所以科學研究的一般過程是從定性研究出發(fā)，然后再研究其量的規(guī)律性，進行定量研究，并進一步把定性

8、研究和定量研究相結合?？茖W的數(shù)學化是有一個發(fā)展過程，它是從低級運動形態(tài)發(fā)展到高級運動形態(tài)，以簡單運動形態(tài)到復雜運動形態(tài)。與此相應的，是從物理學、力學、天文學開始，發(fā)展到化學、生物學和工程技術科學。（2）以生物學為例與物理和天文等學科相比， 生物學中應用相當遲緩. 將數(shù)學方法引進生物學的研究大約始于 20 世紀初. 英國統(tǒng)計學家皮爾遜（K.Pearson， 1857-1936）首先將統(tǒng)計學應用于遺傳學和進化論， 并于 1902 年創(chuàng)辦了《

9、生物統(tǒng)計學》 （Biometrika）雜志， 統(tǒng)計方法在生物學中的應用變的日益廣泛。意大利生物學家達松納（D’Ancona）在研究地中海各種魚群的變化及其彼此影響時，發(fā)現(xiàn)鯊魚及其他兇猛大魚的捕獲量在全部漁獲量中的比例成倍增長。他感到困惑的是作為魚餌的小魚也應該多起來，并且鯊魚在魚群中的總體比例應該不變的。什么原因使得鯊魚的增長要比小魚的增長更快呢？達松納盡一切生物學上的解釋都無法解開這個謎，于是他請教意大利數(shù)學家伏爾泰拉（V. Volt

10、erra） 。1926 年， 伏爾泰拉提出著名的伏爾泰拉方程：方程中 x 表示食餌，即被食小魚，y 表示捕食者，即食肉大魚（鯊魚） 。用微分方程知識解釋道：當捕魚量減小時，捕食者（鯊魚）增加，被食者（被食小魚）減少；當捕魚量增加時，捕食者減少，被食者增加。這給生物學一個滿意的答復。這一現(xiàn)象現(xiàn)在稱為伏爾泰拉原理，已在許多生物學領域中應用。如使用農(nóng)藥殺蟲劑，若把害蟲及其天敵一起毒殺，則由于殺死害蟲數(shù)量猛增，根據(jù)伏爾泰拉原理，卻會使捕食害蟲的

11、天敵下降更快，引起不利后果。用微分方程建立生物模型在 20 世紀 50 年代曾獲得轟動性成果，這就是描述神經(jīng)脈沖傳導過程的霍奇金-哈斯利（Hodgkin-Huxley）方程（1952 年）和描述視覺系統(tǒng)側抑制作用的哈特萊因-拉特里夫（Hartline-Ratliff）方程（1958 年） ，它們都是復雜的非線性方程組，引起了數(shù)學家和生物學家的濃厚興趣。這兩項工作分別獲得 1963 年和 1967 年的諾貝爾醫(yī)學生理學獎。（3）以醫(yī)學為例