近代數(shù)學(xué)的興起 (2)

1、第四章 近代數(shù)學(xué)的興起,一、中世紀的歐洲二、向近代數(shù)學(xué)的過渡 1、代數(shù)學(xué) 2、三角學(xué) 3、從透視學(xué)到攝影學(xué) 4、計算技術(shù)與對數(shù)三、解析幾何的誕生,? 公元5～11世紀，是歐洲歷史上的黑暗時期，天主教會成為歐洲社會的絕對勢力。封建宗教統(tǒng)治，使一般人篤信天國，追求來世，從而淡漠世俗生活，對自然不感興趣．教會宣揚天啟真理，并擁有解釋這種真理的絕對權(quán)威，導(dǎo)致了理性的壓抑，歐洲文明在整個中世紀處于凝滯狀態(tài)。 ? 由

2、于羅馬人偏重于實用而沒有發(fā)展抽象數(shù)學(xué)，這對羅馬帝國崩潰后的歐洲數(shù)學(xué)也有一定的影響，終使黑暗時代的歐洲在數(shù)學(xué)領(lǐng)域毫無成就。,一、中世紀的歐洲,? 不過因宗教教育的需要，也出現(xiàn)一些水平低下的算術(shù)和幾何教材．羅馬人博埃齊（約480—524）根據(jù)希臘材料用拉丁文選編了《幾何》、《算術(shù)》等教科書，《幾何》內(nèi)容僅包含《幾何原本》的第一卷和第三、四卷的部分命題，以及一些簡單的測量術(shù)；《算術(shù)》則是根據(jù)400年前尼科馬科斯的一本淺易的著作編寫的。,一、中

3、世紀的歐洲,? 這樣簡單的書籍竟然一直成為歐洲教會學(xué)校的標(biāo)準(zhǔn)課本。此外，這一時期還有英國的比德（674-735）和后來成為數(shù)皇的法國人熱爾拜爾（約950～1003，第一個在西班牙穆斯林學(xué)校學(xué)習(xí)的基督教徒）等人也討論過數(shù)學(xué)，前者研究過算術(shù)中的指算，據(jù)說后者可能把印度—阿拉伯?dāng)?shù)字帶入歐洲。,一、中世紀的歐洲,? 直到12世紀，由于受翻譯、傳播阿拉伯和希臘著作的刺激，歐洲數(shù)學(xué)才開始出現(xiàn)復(fù)蘇的跡象。1100年左右，歐洲人通過貿(mào)易和旅游，同地中海

4、地區(qū)和近東的阿拉伯人以及東羅馬帝國的拜占庭人發(fā)生了接觸。十字軍為掠奪土地的東征，使歐洲人進入了阿拉伯世界。? 從此，歐洲人從阿拉伯人和拜占庭人那里了解到希臘以及東方古典學(xué)術(shù)。古典學(xué)術(shù)的發(fā)現(xiàn)激起了他們極大的興趣；對這些學(xué)術(shù)著作的搜求、翻譯和研究，最終導(dǎo)致了文藝復(fù)興時期歐洲數(shù)學(xué)的高漲。,一、中世紀的歐洲,? 文藝復(fù)興的前哨意大利，由于其特殊的地理位置和貿(mào)易聯(lián)系而成為東西方文化的熔爐。? 古代學(xué)術(shù)傳播西歐的路線如圖所示。,一、中世紀的歐洲

5、,? 數(shù)學(xué)著作的翻譯主要有：英國的阿德拉特（約1120）翻譯的《原本》和花拉子米的天文表；意大利人普拉托（12世紀上半葉）翻譯的巴塔尼的《天文學(xué)》；狄奧多修斯的《球面幾何》以及其他著作；英國羅伯特翻譯的花拉子米《代數(shù)學(xué)》等。? 12世紀最偉大的翻譯家杰拉德（約1114一1187）將90多部阿拉伯文著作翻譯成拉丁文，其中包括托勒玫的《大成》、歐幾里得的《原本》、阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》以及阿基米德的《圓的度量》。? 12世紀是歐洲

6、數(shù)學(xué)的翻譯時代。,一、中世紀的歐洲,? 歐洲黑暗時期過后，第一位有影響的數(shù)學(xué)家是斐波那契（1170一1250）。他早年就隨其父在北非師從阿拉伯入學(xué)習(xí)算學(xué)，后又游歷地中海沿岸諸國，回意大利后寫成《算經(jīng)》（1202，亦譯作《算盤書》）。,一、中世紀的歐洲,一、中世紀的歐洲,? 這部很有名的著作主要是一些源自古代中國、印度和希臘的數(shù)學(xué)問題的匯集，內(nèi)容涉及整數(shù)和分數(shù)算法，開方法，二次和三次方程以及不定方程。特別是，書中系統(tǒng)介紹了印度—阿拉伯?dāng)?shù)碼

7、，對改變歐洲數(shù)學(xué)的面貌產(chǎn)生了很大影響。,? 1228年的《算經(jīng)）修訂版還載有如下“兔子問題”：某人在一處有圍墻的地方養(yǎng)了一對兔子，假定每對兔子每月生一對小兔，而小兔出生后兩個月就能生育。問從這對免子開始，一年內(nèi)能繁殖成多少對兔子？,一、中世紀的歐洲,裴波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，……,U n=Un-1+Un-2 (n≥3),? 《算經(jīng)》可以看作是歐洲數(shù)學(xué)在經(jīng)歷了漫長的黑夜之后走向復(fù)蘇的號角。

8、,一、中世紀的歐洲,? 自然現(xiàn)象中的裴波那契數(shù)：? 向日葵花瓣依兩個相反的螺旋形排列，朝一個螺旋方向生長的花瓣數(shù)同朝相反螺旋方向生長的花瓣數(shù)，幾乎總等于裴波那契序列中兩個相鄰的數(shù)。? 菠蘿、冬表、球花、牛眼菊和許多植物的花也有類似的情形。? 一些花的花瓣數(shù)構(gòu)成裴波那契序列中的一串?dāng)?shù)字。? 電子學(xué)專門設(shè)計的電路也能產(chǎn)生裴波那契序列。,? 歐洲數(shù)學(xué)復(fù)蘇的過程十分曲折，從12世紀到15世紀中葉，教會中的經(jīng)院哲學(xué)派

9、利用重新傳入的希臘著作中的消極成分來阻抗科學(xué)的進步。特別是他們把亞里士多德、托勒玫的一些學(xué)說奉為絕對正確的教條，企圖用這種新的權(quán)威主義來繼續(xù)束縛人們的思想。? 歐洲數(shù)學(xué)真正的復(fù)蘇，要到15、16世紀。在文藝復(fù)興的高潮中。數(shù)學(xué)的發(fā)展與科學(xué)的革新緊密結(jié)合在一起，數(shù)學(xué)在認識自然和探索真理方面的意義被文藝復(fù)興的代表人物高度強調(diào)。,一、中世紀的歐洲,? 達·芬奇（1452—1519）就這樣說過：“一個人若懷疑數(shù)學(xué)的極端可靠性就是陷

10、入混亂，他永遠不能平息詭辯科學(xué)中只會導(dǎo)致不斷空談的爭辯。因為人們的探討不能稱為科學(xué)的，除非通過數(shù)學(xué)上的說明和論證?！? 伽利略干脆認為宇宙“這本書是用數(shù)學(xué)的語言寫成的”。科學(xué)中數(shù)學(xué)化趨勢的增長促使數(shù)學(xué)本身走向繁榮。以下簡略介紹這一時期數(shù)學(xué)發(fā)展的重要方面。? 文藝復(fù)興運動：13世紀末，在意大利各城市興起，以后擴展到西歐各國，于16世紀在歐州盛行的思想文化運動。是科學(xué)與藝術(shù)的革命時期。? 文藝復(fù)興時期在各領(lǐng)域取得很大成就 ，數(shù)學(xué)

11、成就只不過是其中之一。,一、中世紀的歐洲,,二、向近代數(shù)學(xué)的過渡 1、代數(shù)學(xué),? 歐洲人在數(shù)學(xué)上的推進是從代數(shù)學(xué)開始的，它是文藝復(fù)興時期成果最突出、影響最深遠的領(lǐng)域，拉開了近代數(shù)學(xué)的序幕．主要包括三、四次方程求解與符號代數(shù)的引入這兩個方面。? 花拉子米的《代數(shù)學(xué)》被翻譯成拉丁文后，開始在歐洲傳播，不過，直到15世紀，人們還以為三、四次方程與化圓為方問題一樣難以解決。,? 第一個突破是波倫亞大學(xué)的數(shù)學(xué)教授費羅（1465-15

12、26）大約在1515年作出的他發(fā)現(xiàn)了形如 的三次方程的代數(shù)解法。按當(dāng)時的風(fēng)氣，學(xué)者們不公開自己的研究成果，費羅將自己的解法秘密傳給他的學(xué)生費奧。? 1535年，意大利數(shù)學(xué)家塔塔利亞（1499？—1557）也稱自己可以解形如 的三次方程。懷疑之余，費奧向塔塔利亞挑戰(zhàn)，要求各自解出對方提出的30個三次方程。,二、向近代數(shù)學(xué)的過渡,? 結(jié)果是，塔塔利亞很

13、快解出形如兩類型所有方程，而費奧只能解出后一類方程。? 后來，塔塔利亞把解法傳給了卡爾丹?？柕み`背諾言在1545年出版的《大法》中公布了解法。,二、向近代數(shù)學(xué)的過渡,（p, q >0）,實質(zhì)是考慮恒等式,若選取a、b，使3ab=p，a3-b3=q，不難解得a、b。,（p, q >0）,? 《大法》所載三次方程,? 三次方程解決后不久，1540年意大利數(shù)學(xué)家達科伊向卡爾丹提出一個四次方程的問題，卡爾丹未能解決，但由

14、其學(xué)生費拉里（1522一1565）解決了。其解法也被卡爾丹寫進《大法》中．? 荷蘭人吉拉德（1593—1632）于《代數(shù)新發(fā)現(xiàn)》（1629）中又作了進一步的推斷：對于n次多項式方程，如果把不可能的根（復(fù)數(shù)）考慮在內(nèi)，并包括重根，則應(yīng)有n個很，這就是著名的“代數(shù)基本定理”。不過，吉拉德沒有給出證明。? 卡爾丹還發(fā)現(xiàn)了三次方程的三根之和等于 項的系數(shù)的相反數(shù)，每兩根乘積之和等于x項的系數(shù)，等等，這種根與系數(shù)的關(guān)系問題后來由

15、韋達、牛頓和格列高里（1638—1675）等人作出系統(tǒng)闡述,? 在法國，數(shù)學(xué)家韋達（1540一1603）寫了《分析引論》、《論方程的整理與修正》（1615）與《有效的數(shù)值解法》（1600）等方程論著作，其中包括給出代數(shù)方程的近似解法與代數(shù)方程的多項式分解因式解法。? 1637年，笛卡兒首次應(yīng)用待定系數(shù)法將四次方程分解成兩個二次方程求解．今天所說的因式分解定理，最早由笛卡兒在其《幾何學(xué)》中提出，他說：f（x）能為（x－a）整除，當(dāng)

16、且僅當(dāng)a是f（x）＝0的一個根．笛卡兒在《幾何學(xué)》中也末加證明地敘述了n次多項式方程應(yīng)有n個根的論斷，以及今天所謂的“笛卡兒符號法則”：多項式方程f（x）=0的正根的最多個數(shù)等于系數(shù)變號的次數(shù)，負根的最多個數(shù)等于兩個正號與兩個負號連續(xù)出現(xiàn)的次數(shù)．,? 文藝復(fù)興時期有關(guān)代數(shù)方程的這些零星結(jié)果，是后來關(guān)于高次代數(shù)方程理論的一系列漫長而影響深遠的探索的起點。? 代數(shù)上的進步還在于引用了較好的符號體系，這對于代數(shù)學(xué)本身的發(fā)展以及分析學(xué)

17、的發(fā)展來說，至關(guān)重要．正是由于符號化體系的建立，才使代數(shù)有可能成為一門科學(xué)．近現(xiàn)代數(shù)學(xué)最為明顯的標(biāo)志之一，就是普遍地使用了數(shù)學(xué)符號，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的高度抽象與簡練。,? 在《分析引論》中，他第一次有意識地使用系統(tǒng)的代數(shù)字母與符號，以輔音字母表示已知量，元音字母表示未知量．他把符號性代數(shù)稱作“類的算術(shù)”，同時規(guī)定了算術(shù)與代數(shù)的分界，認為代數(shù)運算施行于事物的類或形式，算術(shù)運算施行于具體的數(shù)．這就使代數(shù)成為研究一般類型的形式和方程的學(xué)問，

18、因共抽象而應(yīng)用更為廣泛。,? 數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)化首先歸功于法國數(shù)學(xué)家韋達．由于他的符號體系的引入導(dǎo)致代數(shù)性質(zhì)上產(chǎn)生重大變革．? 韋達原是律師與政治家業(yè)余時間研究數(shù)學(xué)．他曾在布列塔尼議會工作，后任那瓦爾亨利親王的樞密顧問官．他在政治上失意的1584～1589年間，獻身于數(shù)學(xué)研究，曾研究過卡爾丹、塔塔利亞、邦貝利、史蒂文（約1548～1620）和丟番圖等人的著作，從這些著作特別是丟番圖的著作中獲得了使用字母的想法。,? 韋達的這種做

19、法受到后人的贊賞，并被吉拉德的《代數(shù)新發(fā)現(xiàn)》和奧特雷德（1575—1660）的《實用分析術(shù)》所繼承，特別是通過后者的著作使采用數(shù)學(xué)符號的風(fēng)氣流行起來．對韋達所使用的代數(shù)符號的改進工作是由笛卡兒完成的，他首先用拉丁字母的前幾個（a,b,c,d…）表示已知量，后幾個（x，y，z，w，…）表示未知量，成為今天的習(xí)慣．? 韋達的符號代數(shù)保留著齊性原則，要求方程中各項都是“齊性”的，即體積與體積相加，面積與面積相加．這一障礙隨著笛卡兒解析幾

20、何的誕生也得到消除。,? 到17世紀末．歐洲數(shù)學(xué)家已普遍認識到，數(shù)學(xué)中刻意使用符號具有很好的功效．并且使數(shù)學(xué)問題具有一般性．不過當(dāng)時隨意引入的符號太多，我們今天所使用的符號，實際是這些符號經(jīng)過長期淘汰后剩下來的。,,文藝復(fù)興時期出現(xiàn)的縮寫代數(shù)符號,航海、歷法推算以及天文觀測的需要，推動了三角學(xué)的發(fā)展．早期三角學(xué)總是與天文學(xué)密不可分，這樣在1450年以前，三角學(xué)主要是球面三角，后來由于間接測量、測繪工作的需要而出現(xiàn)了平面三角．15、16

21、世紀德國人開始對三角學(xué)作出新的推進，他們從意大利獲得了阿拉伯天文學(xué)著作中的三角學(xué)知識．游學(xué)意大利、后來定居維也納的波伊爾巴赫（1423—1461）曾經(jīng)把托勒玫的《大成》譯成拉丁文，并且編制了十分精確的正弦表．在歐洲，第一部脫離天文學(xué)的三角學(xué)專著是波伊爾巴赫的學(xué)生雷格蒙塔努斯（1436—1476）的《論各種三角形》．雷格蒙塔努斯生于德國，曾經(jīng)游歷于意大利，他搜集、譯注了托勒玫的《大成》，還翻譯過阿波羅尼奧斯、海倫、阿基米德等希胎數(shù)學(xué)家的

22、著作。1464年他撰寫了自己的著作《論各種三角形》，該書主要從納西爾·丁的著作中吸取養(yǎng)分，全書分五卷，前兩卷論平面三角，后三卷論球面三角，給出了球面三角的正弦定理和關(guān)于邊的余弦定理．雷格蒙塔努斯在其另一部著作《方位表》中，制定了多達5位的三角函數(shù)表，除正弦和余弦表外，還有正切表．在1450年以前，希臘、阿拉伯人著作中的三角方法很不嚴謹，雷格蒙塔努斯首次對三角學(xué)作出完整、獨立的闡述，使其開始在歐洲廣泛傳播．,2、三角學(xué),隨后，維

23、爾納（1468—1528）著《論球面三角》（1514），改進并發(fā)展了雷格蒙塔努斯的思想．不過此時的三角學(xué)存在一個最大的困難，就是缺少一批公式，使用僅知的幾個公式，計算十分困難，這主要由于雷格蒙塔努斯只采用正弦和余弦函數(shù)，而且其函數(shù)值限定為正數(shù)所致．哥白尼的學(xué)生雷提庫斯（1514—1576）將傳統(tǒng)的弧與弦的關(guān)系，改進為角的三角函數(shù)關(guān)系，并采用了六個函數(shù)（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割），而且還編制了間隔為10”的10位和15位正弦表,

24、三角學(xué)的進一步發(fā)展，是法國數(shù)學(xué)家韋達所做的平面三角與球面三角系統(tǒng)化工作．他在《標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)》（1579）和《斜截面》（1615）二書中．把解平面直角三角形和斜三角形的公式匯集在一起，其中包括他自己得到的正切公式：,他還給出了解球面直角三角形的方法和一套公式，以及幫助記億這些公式的今天所謂的“納皮爾法則”．這些球面三角公式大都是托勒密建立的，但也有韋達自己提出的公式，如 尤為重要的是韋達將這套三角恒等式表示成了代數(shù)形式，盡管他所用的

25、并不是現(xiàn)代符號．在16世紀，三角學(xué)已從天文學(xué)中分離出來，成為一個獨立的數(shù)學(xué)分支．,4、從透視學(xué)到射影幾何歐洲幾何學(xué)創(chuàng)造性活動的復(fù)興晚于代數(shù)學(xué)．16世紀歐洲效學(xué)家中很多人關(guān)心阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線》第8卷的恢復(fù)與整理，圓錐曲線在天文學(xué)上的應(yīng)用，促使人們需要重新審視希臘人的圓錐曲線，以及其他高等曲線．光學(xué)本是希臘人的興趣之一，也是由于天文觀測的需要，它又日益成為文藝復(fù)興時期的一個重要課題．不過文藝復(fù)興時期給人印象最深的幾何創(chuàng)造其動力

26、卻來自藝術(shù)。,中世紀宗教繪畫具有象征性和超現(xiàn)實性．而文藝復(fù)興時期，描繪現(xiàn)實世界成為繪畫的重要目標(biāo)，這就使畫家們在將三維現(xiàn)實世界繪制到二維的畫布上時，面臨這樣一些問題： （1）一個物體的同一投影的兩個截影有什么共同的性質(zhì)? （2）從兩個光源分別對兩個物體投影到同一個物影，那么這兩個物體有何共同的幾何性質(zhì)? 正是由于繪畫、制圖中提出的這類問題的刺激而導(dǎo)致了富有文藝復(fù)興特色的學(xué)科——透視學(xué)的興起，從而誕生了射影幾何學(xué)．

27、意大利人布努雷契 （1377—1446）是第一個認真研究透視法并試圖運用幾何方法進行繪畫的藝術(shù)家．?dāng)?shù)學(xué)透視法的天才阿爾貝蒂 （1404—1472）的《論繪畫》（1511）一書，則是早期數(shù)學(xué)透視法的代表作書中除引入投影線、截影等一些概念外，還討論了截影的數(shù)學(xué)性質(zhì)，成為射影幾何學(xué)發(fā)展的起點．,德沙格的另一項重要工作是從對合點問題出發(fā)首次討論了調(diào)和點組的理論.德沙格利用射影原理證明了，在圓錐曲線的內(nèi)接四邊形中，任一不過頂點的直線與圓錐曲線以及

28、與完全四邊形對邊相交的四對點具有對合關(guān)系．在對合概念的基礎(chǔ)上，他引人共扼點與調(diào)和點組，認為對合、調(diào)和點組關(guān)系在投影變換下具有不變性．進一步，研究了極點與極帶理論．他最后利用這些理論研究阿波羅尼奧斯的圓錐曲線，將圓錐曲線的直徑視作無窮遠點的極帶，通過投影和截影這種新的證明方法，統(tǒng)一處理了不同類型的圓錐曲線． 另一位法國數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623—1662）16歲時就開始研究投射與取景法，他曾接受德沙格的建議．把圓錐曲線的許多性質(zhì)簡化為

29、少數(shù)幾個基本命題，1640年完成著作《圓錐曲線論》，不久失傳，后于1779年被重新發(fā)現(xiàn)．在射影幾何方面他最突出的成就是所謂的帕斯卡定理圓錐曲線的內(nèi)接六邊形對邊交點共線．,對早期射影幾何學(xué)有所貢獻的還有畫家出身的拉伊爾（P.de La.Hire,1640—1718），他在這方面的工作也是受到德沙格的影響． 德沙格等人把這種投影分析方法和所獲得的結(jié)果，視為歐幾里得幾何的一部分，從而在17世紀人們對二者不加區(qū)別．但我們應(yīng)該認識到，當(dāng)時

30、由于這一方法而誘發(fā)了一些新的思想和觀點： （1）一個數(shù)學(xué)對象從一個形狀連續(xù)變化到另一形狀； （2）變換與變換不變性； （3）幾何新方法——僅關(guān)心幾何圖形的相交與結(jié)構(gòu)關(guān)系，不涉及度量． 不過17世紀數(shù)學(xué)家們的時尚是理解自然和控制自然，用代數(shù)方法處理數(shù)學(xué)問題—般更為有效，也特別容易獲得實踐所需的定量結(jié)果．而射影幾何學(xué)家的方法是綜合的，而且得出的結(jié)果也是定性的，不那么有用．因此，射影兒何產(chǎn)生后不久，很快就讓位于

31、代數(shù)、解析幾何和微積分，終由這些學(xué)科進一步發(fā)展出在近代數(shù)學(xué)中占中心地位的其他學(xué)科．德沙格、帕斯卡、拉伊爾等人的工作與結(jié)果也漸被人們所遺忘，遲至19世紀才又被人們重新發(fā)現(xiàn)．,計算技術(shù)與對數(shù) 16世紀前半葉，歐洲人像印度人和阿拉伯人一樣，把實用的算術(shù)計算放在數(shù)學(xué)的首位．這是因為科學(xué)成果在工程技術(shù)上的應(yīng)用以及實踐上的需要，要求得出數(shù)量上的結(jié)果；地理探險與海洋貿(mào)易需要更為準(zhǔn)確的天文知識；以精確觀測為基礎(chǔ)的新天文學(xué)需要精密的天文數(shù)表，特別

32、是三角函數(shù)表；日益發(fā)展起來的銀行業(yè)務(wù)和商務(wù)活動也需要更好的計算技術(shù)，所有這些都對計算技術(shù)的改進提出了前所未有的要求．1585年荷蘭數(shù)學(xué)家史蒂文發(fā)表的《十進算術(shù)》（La Disme）系統(tǒng)地探討了十進制記數(shù)及其運算理論，并提倡用十進制小數(shù)來書寫分數(shù)，還建議度量衡及幣制中也廣泛采用十進制．這種十進制的采用又為計算技術(shù)的改進準(zhǔn)備了必要條件． 這一時期計算技術(shù)最大的改進是對數(shù)的發(fā)明和應(yīng)用，它的產(chǎn)生主要是由于天文和航海計算的強烈需要．為簡化

33、天文、航海方面所遇到的繁雜數(shù)值計算，自然希望將乘除法歸結(jié)為簡單的加減法．這種設(shè)想受到人們熟知的三角公式,蘇格蘭貴族數(shù)學(xué)家納皮爾（L.Napier,1550—1617）正是在球面天文學(xué)的三角學(xué)研究中首先發(fā)明對數(shù)方法的.1614年他在題為《奇妙的對數(shù)定理說明書》的小書中，闡述了他的對數(shù)方法． 瑞士儀器工匠比爾吉（J．Burgi，1552—1632）1600年也獨立地發(fā)明了對數(shù)方法以簡化天文計算．他的出發(fā)點是斯蒂弗爾的級數(shù)的對應(yīng)思想,

34、屬于算術(shù)性質(zhì)而略異于納皮爾的做法．不過他的發(fā)明遲至1620年才得到發(fā)表。對數(shù)的發(fā)明大大減輕了計算工作量，很快風(fēng)靡歐洲，所以拉普拉斯曾資譽道：“對數(shù)的發(fā)明以其節(jié)省勞力而延長了天文學(xué)家的壽命”．可以說，到16世紀末、17世紀初，整個,初等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容基本定型．文藝復(fù)興促成的東西方數(shù)學(xué)的融合，為近代數(shù)學(xué)的興起及以后的驚人發(fā)展鋪平了道路．3解析幾何的涎生 近代數(shù)學(xué)本質(zhì)上可以說是變量數(shù)學(xué)．文藝復(fù)興以來資本主義生產(chǎn)力的發(fā)展，對科學(xué)技術(shù)

35、提出了全新的要求：機械的普遍使用引起了對機械運動的研究；世界貿(mào)易的高漲促使航海事業(yè)的空前發(fā)達，而測定船舶位置問題要求推確地研究天體運行的規(guī)律；武器的改進刺激了彈道問題的探討，等等，總之，到了16世紀，對運動與變化的研究已變成自然科學(xué)的中心問題．這就迫切地需要一種新的數(shù)學(xué)工具，從而導(dǎo)致了變量數(shù)學(xué)亦即近代數(shù)學(xué)的涎生． 變量數(shù)學(xué)的第一個里程碑是解析幾何的發(fā)明．解析幾何的基本思想是在平面上引進所謂“坐標(biāo)”的概念，并借助這種坐標(biāo)在乎面上的

36、點和有序?qū)崝?shù)對（x，y）之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系．每一對實數(shù)（x，y）都對應(yīng)于平面上的一個點；反之，每一個點都對應(yīng)于它的坐標(biāo)（x，y）．以這種方式可以將一個代數(shù)方程f（x，y）＝o與平面上一條曲線對應(yīng)起來，于是幾何問題便可歸結(jié)為代數(shù)問題，并反過來通過代數(shù)問題的研究發(fā)現(xiàn)新的幾何結(jié)果．,借助坐標(biāo)來確定點的位置的思想古代曾經(jīng)出現(xiàn)過，古希臘的阿波羅尼奧斯關(guān)于圓錐曲線性質(zhì)的推導(dǎo)，阿拉伯人通過圓錐曲線交點求解三次方程的研究，都蘊涵著這種思想．解析幾何

37、最重要的前驅(qū)是法國數(shù)學(xué)家奧雷斯姆（1323？—1382），他在《論形態(tài)幅度》這部著作中提出的形態(tài)幅度原理（或稱圖線原理），甚至已接觸到函數(shù)的圖象表示，在這里，奧雷斯姆借用了“經(jīng)度”、“緯度”這兩個地理學(xué)術(shù)語來描述他的圖線，相當(dāng)于橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)．不過他的圖線概念是模糊的，至多是一種圖表，還未形成清晰的坐標(biāo)與函數(shù)圖象的概念． 解析幾何的真正發(fā)明還要歸功于法國另外兩位數(shù)學(xué)家笛卡兒（1596—1650）與費馬（1601—1665）．他們

38、工作的出發(fā)點不同，但卻殊途同歸． 有了坐標(biāo)系和曲線方程的思想，笛卡兒又提出了一系列新穎的想法，如：曲線的次數(shù)與坐標(biāo)軸選擇無關(guān)；坐標(biāo)軸選取應(yīng)使曲線方程盡量簡單；利用曲線的方程表示來求兩條不同曲線的交點；曲線的分類等等．,《幾何學(xué)》作為笛卡兒哲學(xué)著作《方法論》的附錄，意味著他的幾何學(xué)發(fā)現(xiàn)乃至其他方面的發(fā)現(xiàn)都是在其方法論原理指導(dǎo)下獲得的．笛卡兒方法論原理的本旨是尋求發(fā)現(xiàn)真理的一般方法，他在另一部較早的哲學(xué)著作《指導(dǎo)思維的法則》中稱自己

39、設(shè)想的一般方法為“通用數(shù)學(xué)”，并概述了這種通用數(shù)學(xué)的思路．在這里，笛卡兒提出了一種大膽的計劃，即： 任何問題 數(shù)學(xué)問題 代數(shù)問題 方程求解．為了實施這一計劃，笛卡兒首先通過“廣延” （他對有形物廣延的一種推廣）的比較，將一切度量問題化為代數(shù)方程問題，為此需要確定比較的基礎(chǔ)，即定義“廣延”單位，以及建立“廣延”符號系統(tǒng)及其算術(shù)運算，特別是要給出算術(shù)運算與幾何圖形之間的對應(yīng)．這就是笛卡兒幾何學(xué)的方法論背景．

40、 當(dāng)然，笛卡兒的方法論著作并沒有告訴人們，在將一切問題化歸為代數(shù)方程問題后將如何繼續(xù)，這正是《幾何學(xué)》需要完成的任務(wù)．《幾何學(xué)》開宗明義，在任意選取單位線段（廣延單位）的基礎(chǔ)上定義了線段的加、減、乘、除、乘方、開方等運算．,笛卡兒依下列次序?qū)@一問題進行分類解答： （1）一、二次方程 （2）三、四次方程 （3）五、六次方程笛卡兒《幾何學(xué)》的整個思路與傳統(tǒng)的方法大相徑庭，在這里表現(xiàn)出笛卡兒向傳統(tǒng)和權(quán)威挑戰(zhàn)的巨大勇

41、氣．笛卡兒在《方法論》中尖銳地批判了經(jīng)院哲學(xué)特別是被奉為教條的亞里士多德“三段論”法則，認為三段論法則“只是在交流已經(jīng)知道的事情時才有用，卻不能幫助我們發(fā)現(xiàn)未知的事情“．他認為“古人的幾何學(xué)”所思考的只限于形相，而近代的代數(shù)學(xué)則“太受法則和公式的束縛”，因此他主張“采取幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)中一切最好的東西，互相取長補短．”這種懷疑傳統(tǒng)與權(quán)威、大膽思索創(chuàng)新的精神，反映了文藝復(fù)興時期的時代特征．笛卡兒的哲學(xué)名言是：“我思故我在”。 笛卡兒出

42、生于法國都倫的拉哈耶，貴族家庭的后裔，父親是一個律師．他早年受教于拉福累歇的耶酥會學(xué)校．1612年赴巴黎從事研究 ，曾于1617年和1619年兩次,從軍，離開軍營后，旅行于歐洲，他的學(xué)術(shù)研究是在軍旅和旅行中作出的。 關(guān)于笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的靈感有幾個傳說．一個傳說講，笛卡兒終身保持著在耶穌會學(xué)校讀書期間養(yǎng)成的“晨思”習(xí)慣，他在一次“晨思”時，看見一只蒼蠅正在天花板上爬，他突然想到，如果知道了蒼蠅與相鄰兩個墻壁的距離之間的關(guān)系．就

43、能描述它的路線，這使他頭腦中產(chǎn)生了關(guān)于解析幾何的最初閃念．另一個傳說是，1619年冬天，笛卡兒隨軍隊駐扎在多淄河畔的一個村莊，在圣馬丁節(jié)的前夕（11月l0日），他做了三個連貫的夢．笛卡兒后來說正是這三個夢向他揭示了“一門奇特的科學(xué)”和“一項驚人的發(fā)現(xiàn)”，雖然他從未明說過這門奇待的科學(xué)和這項驚人的發(fā)現(xiàn)是什么，但這三個夢從此成為后來每本介紹解析幾何的涎生的著作必提的佳話，它給解析幾何的誕生蒙上了一層神秘色彩．人們在苦心思索之后的睡夢中獲得靈

44、感與啟示不是不可能的．但事實上笛卡兒之所以能創(chuàng)立解析幾何，主要是他艱苦探索、潛心思考，運用科學(xué)的方法．同時批判地繼承前人的成就的結(jié)果． 與笛卡兒不同，費馬工作的出發(fā)點是竭力恢復(fù)失傳的阿,波羅尼奧斯的著作《論平面軌跡》，他為此而寫了一本題為《論平面和立體的軌跡引論》（1629）的書．書中清晰地闡述了費馬的解析幾何原理，指出：“只要在最后的方程中出現(xiàn)兩個未知量，我們就有一條軌跡，這兩個量之一的末端描繪出一條直線或曲線．直線只有一種，曲線