20+代數學基礎(4)環(huán)和域

1、環(huán)和域,,環(huán)的定義,環(huán)(Ring) : 一個非空集合S上有兩種運算：加法“+”和乘法“°”，如果這兩種運算滿足以下性質，就稱為環(huán)：(R, +)是一個交換群，加法單位元記為0（稱為零元）；R關于乘法“°”滿足結合律: (a°b) °c=a° (b°c), 并有單位元, 記為1；分配律成立: (a+b) °c=a°c+b°c, c° (a+b)=c°a+c°b. 注： 0是抽象的寫法，不同于整數中的0. “+”和

2、“°”是抽象的運算,環(huán)的例子（1）,在通常的加法和乘法運算下，Z, Q, R 和 C都是環(huán)，加法單位元為0，乘法單位元為1。,環(huán)的例子（2）,對任意n>0，在模n加法和模n乘法下，Zn是一個環(huán)。加法單位元為0，乘法單位元為1。,環(huán)的例子 (3),多項式環(huán) Z[x],環(huán)中的零元,對于環(huán)中的任意元素a, 都有0a=a0=0一般地，0與1不相等，否則1a=a, 而0a=0，這表明環(huán)中只有一個元素，平凡情形，一般不考慮所以0關于乘

3、法沒有可逆元,環(huán)的幾個性質,設R是一個環(huán), ?a,b ∈ R, 有:a(-b)=(-a)b=-(ab)(-a)(-b)=ab,交換環(huán),類似于交換群的定義，如果一個環(huán)關于乘 法運算具有可交換性，就稱它為交換環(huán)。,無零因子環(huán),設R是一個環(huán), 如果存在a,b∈R, a≠0, b≠0, 但ab=0, 那么稱R是有零因子環(huán), 否則稱R是無零因子環(huán).ab=0 ? a=0或b=0.,無零因子環(huán)的性質,性質1. 設R是無零因子環(huán),

4、 那么若a≠0, ab=ac, 則b=c;若a≠0, ba=ca, 則b=c.,性質2. 設R是無零因子環(huán), 那么R中非零元的加法階相等, 或者為∞, 或者為素數.,子環(huán)、理想和商環(huán),子環(huán)(subring),設R是一個環(huán), S是R的非空子集, 如果S關于R的運算也構成環(huán), 則稱S是R的子環(huán).,理想(Ideal),設R是一個環(huán), I是R的一個子環(huán), 如果?a∈ I , r∈R, 有ra ∈R, ar ∈R, 則稱I是R的

5、一個理想.,理想的例子,F[x]為數域F上的一元多項式環(huán), I={a1x+a2x2+…+anxn|ai∈F, n ∈ N}, 即I是由所有常數項為0的多項式構成的集合, 則I是F[x]的理想.,主理想,由R中一個元素a生成的理想稱為主理想.,商環(huán),設I是環(huán)R的理想, 在加法商群R/I上定義如下乘法 (x+I)(y+I) = (x+y) +I 則R/I關于加法和乘法構成一個環(huán).,環(huán)同態(tài),設R和R’是兩個環(huán),

6、f是R到R’的一個映射, 如果?a,b∈R, 均有 f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b), 那么稱f是R到R’的環(huán)同態(tài)映射. 如果f是滿射, 那么稱R和R’同態(tài); 如果f是雙射,那么稱R和R’同構.,,類似的有環(huán)同態(tài)基本定理,概念的類比,域的定義,域(Field) 如果一個交換環(huán)中的非零元素關于乘法運算形成一個群，就稱它為域。,域的例子（1）,在通常的加法和乘法

7、運算下，Q, R 和 C 都是域。,域的例子（2）,令p是一個素數，在模p加法和模p乘法 運算下，Zp是一個域. 也記為Fp或者GF (p).,注意： 整數環(huán)Z不是域； 當n是合數時，Zn不是域。 有限群、子群、商群和群的階的概念可 以直接推廣到環(huán)和域中。,域的特征,F是域，其特征char(F)定義為單位元1的加法階, 即使得

8、 的最小自然數n，如果不存在這樣的自然數，那么記char(F) =∞.,性質：如果char(F)有限，那么一定是素數.,域的例子（3）,構造方法,域上的多項式環(huán)不可約多項式,利用不可約多項式構造有限域,Z Zp,F[x] F[x]/f(x),Fp=Zp,p為素數,F為p階有限域f 為n次不可約多項式,F[x]/f(x)為pn階有限域,域上的多項式的帶余除法,設F是一個域，f, g

9、是F[x]中的兩個多項式，且g不為0，類似于整數的除法： f=gq+r， 其中，q, r是F[x]中的兩個多項式，且deg(r)<deg(g).,帶余除法的例子,f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1∈F2[x] g(x)=x3+x+1∈F2[x] q=x2+x, r=x2+1,不可約多項式,定義:設F是一個域，f(x)

10、 ∈ F[x], f(x)的次數為正數，若f(x)=g(x)h(x)，其中f(x) ,h(x)∈ F[x], 則g(x)和h(x)中必有一個為常數多項式, 那么稱f(x)是不可約的.,注意： 多項式的可約性依賴于該多項式定義在什么樣的代數結構上. 一個多項式在一種代數結構上不可約，但可能在另一種代數結構上就是可約的.,例,對于二次多項式f(x)=x2 - 2x+2：.（1）在復數域上可約；（2）在實數域上不可約；

11、（3）在F3上不可約.,利用不可約多項式構造域,定義: F[x]是域F上的多項式環(huán), f,g,r∈F[x], g≠0, 滿足f = gq + r, deg(r)<deg(g), 稱r為f除以g的余式, 記為r≡f (mod g).考慮F[x]中所有多項式模g(x)的余式, 將這些集合稱為F[x]模g(x)的多項式, 記為F[x]/g(x).,利用不可約多項式構造域,令F是一個域，f(x)是F[x]中的一個非零多項式，那么F

12、[x]/f(x)是一個環(huán)，當且僅當 f(x)在F上不可約時， F[x]/f(x)是一個域.,,f(x)是F[x]中的一個不可約多項式， 當F是域時， F[x]/f(x)是一個域. 將f(x)稱為域F[x]/f(x)的定義多項式.,定理,令F為含有p個元素的域，f(x)是F上的n次不可約多項式，那么域F[x]/f(x)中元素的個數是pn. F[x]/f(x)是F[x]中所有次數小于deg(f)=n、系數取遍F中所有p個元素的多項式全體

13、構成的集合. 共有pn個這樣的多項式.,,注意：在此定理中，并沒有假設p是素數，事實上，F可以是任意域，稱F[x]/f(x)為由基域F通過域擴張得到的擴域.,Pn 階域的存在性,Zp是階為p的域；對任意的有限域F和任意的正整數n，F[x]中一定存在n次不可約多項式. 推論 對于每一個素數p和每一個正整數n，都存在一個階為pn的有限域.,,域Fp[x]/f(x)中結構是很清楚的，它僅是所有次數小于n、系數在Fp的所有多項式的

14、集合；在同構的意義下，這是唯一的階為pn的有限域.,例子(1),實數域: R不可約多項式 f(x) = x2+1R[x]/f(x) (ax+b)+(cx+d) = (a+c)x+(b+d)(ax+b)(cx+d) = acx2+(ad+bc)x+bd =(ad+bc)x+(bd-ac) (mod f(x)),R[x]/f(x) ≌ C,ax+b ? ai+b,求逆 g(