高等代數(shù)課后答案王萼芳石生明

1、 第一章 第一章 多項(xiàng)式 多項(xiàng)式 多項(xiàng)式理論是高等數(shù)學(xué)研究的基本對(duì)象之一， 在整個(gè)高等代數(shù)課程中既相對(duì)獨(dú)立， 又貫穿其他章節(jié)。換句話說(shuō)，多項(xiàng)式理論的討論可以不依賴于高等數(shù)學(xué)的其他內(nèi)容而自成體系，卻可為其他章節(jié)的內(nèi)容提供范例與理論依據(jù)。 本章主要討論多項(xiàng)式的基本概念與基本性質(zhì)，包括數(shù)域的概念、一元多項(xiàng)式的定義與運(yùn)算規(guī)律、整除性、因式分解及根等概念。對(duì)于多元多項(xiàng)式，則主要討論字典排列法與對(duì)稱多項(xiàng)式。 一

2、 重難點(diǎn)歸納與分析 (一) 基本內(nèi)容概述 多項(xiàng)式理論又分為一元多項(xiàng)式與多元多項(xiàng)式兩大部分，其中一元多項(xiàng)式主要討論： 1． 一元多項(xiàng)式的基本概念與基本性質(zhì)：主要討論數(shù)域的概念、一元多項(xiàng)式的定義與運(yùn)算規(guī)律。 2． 一元多項(xiàng)式的整除性理論：主要討論帶余除法與余數(shù)定理、整除的基本概念與基本性質(zhì)、最大公因式和互素的基本概念與基本性質(zhì)。3． 一元多項(xiàng)式的因式分解理論：主要討論不可約多項(xiàng)式的基本概念與基本性質(zhì)、因式分解及其唯一性定理、三個(gè)特殊數(shù)域上

3、的多項(xiàng)式分解。4． 一元多項(xiàng)式的根與重根：主要討論重因式的定義與性質(zhì)、多項(xiàng)式的根、多項(xiàng)式根的個(gè)數(shù)定理。 多元多項(xiàng)式則主要討論多元多項(xiàng)式的基本概念、字典排列法與對(duì)稱多項(xiàng)式。 （二）重難點(diǎn)歸納 本章的重點(diǎn)為一元多項(xiàng)式的概念，因式分解理論，多項(xiàng)式的根和對(duì)稱多項(xiàng)式；難點(diǎn)為最大公因式的定義，一元多項(xiàng)式的整除性，一元多項(xiàng)式的整除、最大公因式、互素及不可約多項(xiàng)式等概念的聯(lián)系與區(qū)別。（三）題型歸類與分析本章的基本題型主要有：1． 關(guān)于一元多項(xiàng)式的基本概

4、念，通常有一元多項(xiàng)式的比較次數(shù)法、比較系數(shù)法，用以確定多項(xiàng)式的次數(shù)及證明有關(guān)命題。2． 關(guān)于一元多項(xiàng)式整除性理論，通常有多項(xiàng)式整除性的檢驗(yàn)、最大公因式的求法、互素的判別、按冪展開等等，可采取綜合除法、帶余除法、輾轉(zhuǎn)相除法、待定系數(shù)法、反證法及利用多項(xiàng)式的整除、最大公因式、互素等定義與性質(zhì)求證有關(guān)命題。 3． 關(guān)于一元多項(xiàng)式的因式分解理論，通常有多項(xiàng)式的可約性判別、因式分解、重因式的判別等等，可采取艾森斯坦判別法、克龍萊克爾分解法、求有理

5、根的分解法、分離重因式法、輾轉(zhuǎn)相除法以及利用不可約多項(xiàng)式的定義與性質(zhì)求證有關(guān)命題。 4． 關(guān)于一元多項(xiàng)式的根與重根，通常有根的檢驗(yàn)及重根的判別、根與系數(shù)的關(guān)系以及球多項(xiàng)式的根與重根等等，可利用輾轉(zhuǎn)相除法、結(jié)式判別法、分離重因式法、艾森斯坦判別法等進(jìn)行討論，以及利用某些基本定理求解。 5． 關(guān)于多元多項(xiàng)式，通常有對(duì)稱多項(xiàng)式化初等對(duì)稱多項(xiàng)式的化法與對(duì)稱多項(xiàng)式的應(yīng)用，其中化對(duì)稱多項(xiàng)式為初等對(duì)稱多項(xiàng)式的方法主要有公式法、首項(xiàng)消去法及待定系數(shù)法；

6、應(yīng)用對(duì)稱多項(xiàng)式，可以對(duì)具有對(duì)稱多項(xiàng)式形式的線性方程組求解、進(jìn)行因式分解、進(jìn)行恒等式的證明及求多元多項(xiàng)式的零點(diǎn)。 （四） 綜合舉例 )) ( ), ( ) ( ) ( ( )) ( ), ( ( x g x g x h x f x g x f f ? =證： 由已知，可設(shè) ) ( )) ( ), ( ( x d x g x f =則 ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( 2 1 x d x q x g x d x q x f

7、 = =于是 ) ( )] ( ) ( ) ( [ ) ( ) ( ) ( 2 1 x d x q x h x q x g x h x f ? = ?即 ) (x d 是 ) ( ) ( ) ( x g x h x f ? 與 ) (x g 的一個(gè)公因式。 若 ) ( 1 x d 是 ) ( ) ( ) ( x g x h x f ? 與 ) (x g 的任意一個(gè)公因式，則由多項(xiàng)式的整除性質(zhì)，可得 ) ( ) ( ) ( 1 3 x d

8、 x q x f = 。這表明 ) ( ) ( 1 x f x d) ( ) ( 1 x d x d即 ) (x d 還是 ) ( ) ( ) ( x g x h x f ? 與 x g 的最大公因式，故有 )) ( ), ( ) ( ) ( ( )) ( ), ( ( ) ( x g x g x h x f x g x f x d ? = =例3 設(shè) 是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，且 0 ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 (

9、 22 = ? + + + + x g x x g x x f x（1） 0 ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( 22 = + + ? + + x g x x g x x f x（2） 試證 ) ( ), ( 2 1 x g x g證 由 ) 2 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( × + ? × ? x x 可得 ). ( 6 )] ( ) 1 ( ) ( ) 1 )[( 1 ( 2

10、2 12 x xg x f x x f x x ? + ? ? +再由 ) 2 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( × ? ? × + x x ，同理可證 ). ( | ) 1 ( 12 x g x +例4 試問(wèn)：2 是否為一元多項(xiàng)式 4 4 4 3 ) ( 2 3 4 ? + ? + = x x x x x f8 12 2 11 6 ) ( 2 3 4 5 + ? + ? + ? = x x x x x x