“復數(shù)”全章復習

1、 1“復數(shù)”全章復習 “復數(shù)”全章復習重點、難點：1. 復數(shù)的概念及其表示形式：（ ）形如 （ ）的數(shù)稱為復數(shù)， 分別叫做復數(shù)的實部、虛部 1 a bi a b R a b ? ? , ,當 時， 表示實數(shù)；當 時， 表示虛數(shù)； b a bi b a bi ? ? ? ? 0 0? ? ? ? 當 ， 時， 表示純虛數(shù)，顯然， 純虛數(shù) 虛數(shù) ， a b a bi ? ? ? ? 0 0? ? ? ? ? ? 實數(shù) 虛數(shù) 復數(shù) ? ?

2、? C通常復數(shù) z 的實部記作 Rez；復數(shù) z 的虛部記作 Imz.兩個重要命題：定理 ：復數(shù) 是實數(shù)的充要條件是 ； 1 z z z ?定理 ：復數(shù) 是純虛數(shù)的充要條件是 （ ） 2 0 0 z z z z ? ? ?（2）復數(shù)的幾何形式：復數(shù)集與平面上的點集之間能建立一一對應關系，故可用平面上的點來表示復數(shù)，一般地，可用點 （ ）表示復數(shù) ，（ ）， Z a,b a + bi a,b R ?或用向量 表示復數(shù) OZ a bi??

3、.（ ）復數(shù)相等： 且 3 a bi c di a c b d ? ? ? ? ? ? .這是解決復數(shù)問題時進行虛實轉(zhuǎn)化的工具：（ ）共軛復數(shù)： 與 （ ）互為共軛復數(shù)。 4 z a bi z a bi a b R ? ? ? ? ? ,在復平面上，互為共軛復數(shù)的兩個點關于實軸對稱：另外 z z ?| |（ ）復數(shù)的模：設 在復平面上對應的點為 （ ），則 5 z a bi a b R Z a b ? ? ? ( , ) ,把向量 的模

4、（即線段 的長度）叫做復數(shù) 的模。 OZ OZ z?| | ( ) z a b ? ? ? 2 2 0（6）共軛復數(shù)的運算性質(zhì)：z z z z z z z z z z z z zzzz1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21212? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ； ； ；（ ）z z z z z z n n ? ? ? ? ( ) | | | | ； 2 2（7）復數(shù)的模的運算性質(zhì)：| | | | | | | | | |

5、 z z z z z z z z OZ OZ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ? ? ? ? ?? ?（當與 ， 對應的向量 ， 同向時，右邊的等號成立：當 ， 反向時，左邊的等號成立） OZ OZ 1 2? ?| | | | | | | | | | z z z z z z 1 2 1 2 1 2 ? ? ? ? ? （取等號的情形與以上相反）| | | || | | || | | | . z z z z zzzz z z n

6、n1 2 1 21212? ? ? ? ? ； ；（ ）關于復數(shù) 與 8 1232 i i ? ? ? ? .i i i i i i i i i n n n n 4 1 4 2 2 4 3 3 4 4 4 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ， ，? ? ? ? ? 3 2 2 1 1 0 ? ? ? ? ? ， ， ；3? ? ? ? ? ? ?? ( ) ( ) a b a ab b i a bia b2

7、 22 2 2 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ) ( ) a b a aa b ab b ba b i 2 22 2 2 2 2 2 2? ? ? ? ? ( ) ( ) a b a ab b i 2 2 3 2 為負實數(shù)?? ? ?? ?? ??? ?? ??? ???? ? ?? ? ?? ?? ??? ? ?? ? ?? ??? ? ?a b aab ba bababab2 22 23 02 01123212321

8、0 或 或? ? ? ? ? ? ? ? ? z i z i z 12321232 1 或 或 。例 2. 設 ，求 z i ii z ? ? ? ? ??( ) ( )( ) | | 4 3 1 212 412分析與解： 利用模的運算性質(zhì)，簡化運算 。 | | z ? 22564例 3. 計算： ( )( )( )( )2 21 32 31 2 3129100100?? ?? ? ??iiii分析與解： 注意到式中隱含 ， ，故可考慮

9、利用 ， 1 1232 1 2 2 ? ? ? ? ? ? i i i i ( )以及 的運算性質(zhì)簡化運算，但需先對式子變形。 ? ? ? ? 1232 i? ?原式 ? ?? ? ?? ?? ?? ?? ? ?? ?2 12 12322 32 32 222 32 312 129 910010012 69 3 3100100 100( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )iiii ii ii i ?? ? ? ? ? ?

10、 ? ? ? 2 211 2 1 5113 6 63 1009 ii .例 4. 對于復數(shù) ， ，若 ，則 ， 中至少有一個等于 z z z z z z z z 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 | | | | | | | | , ? ? ?請證明。分析： 對于兩個模相等的式子。要想對其變形，則需利用 來轉(zhuǎn)化為 |z| = z z 2 ?可變形運算的形式。證明： 由已知，得 ，即 | | | | z z z z 1 221 22

11、1 ? ? ?( )( ) ( )( ) z z z z z z z z 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ? ? ? ? ?( )( ) ( )( ) z z z z z z z z 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? z z z z z z z z z z z z z z z z 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1