矩陣論范數(shù)理論

1、1第二章 第二章 范數(shù)理論 范數(shù)理論在第一章我們曾利用內(nèi)積定義了向量的長度，他是幾何向量長度概念的一種推廣。雖然當 n>3 時對定義的向量長度無法作出具體的幾何解釋，但這樣規(guī)定的長度具有幾何向量長度的基本性質(zhì)，即非負性，齊次性和三角不等式。本章我們采用公理化的方法，八項量長度的概念推廣到更一般的情形，主要討論向量范數(shù)、矩陣范數(shù)及其有關(guān)的應(yīng)用。§2.1 向量范數(shù) 向量范數(shù)定義 定義 2.1 若對任意 都有一個實數(shù) 與

2、之對應(yīng)，且滿 n C x ? x足：（1）非負性：當 x 0x 0 x 0 x 0 ¹ > = = 時，；當，；（2）齊次性：對任何 C x x l l l Î = ，；（3）三角不等式：對任意 都有 則稱 n x,y C Î ， x y, x y + £ + x為 上的向量 x 的范數(shù)，簡稱向量范數(shù)。 n C定義中并未給出向量范數(shù)的計算方法，只是規(guī)定了向量范數(shù)應(yīng)滿足的三條公理，稱之

3、為向量范數(shù)三公理。從范數(shù)定義可得范數(shù)的下列基本性質(zhì)。定理 定理 2.1 對任意 有 和 n C y x, ?（1） = ； x - x（2） x. y x y - £ -3又對任意有 1 2 y ( , , ) . T nn C h h h = Î ?1 1 11 1 1 1( )n n n nk k k k k kk k k kx y x y x h x h x m= = = =+ = + £ + =

4、 + = + å å å å故 是 上的一種向量范數(shù)。 1 x n C例 2.3設(shè) 規(guī)定 1 2 n x ( ) . T n C x x x = Î ? ，，則 是向量 x 的一種范數(shù)，稱為向量 1 x max k k x = x ¥ ¥-范數(shù)。證 當 時，有 當 x=0 時，現(xiàn)然有 x 0 ¹ x max 0; k k x ¥ = >

5、x ¥ =0.對任意 ，有 C ? ? x max max k k k k x l l x l x l ¥ ¥ = = =又對任意 有 1 2 y ( , , ) . T nn C h h h = Î ?x y max max max k k k k k k k x y x h x h ¥ ¥ ¥ + = + £ + = +故 是 上的一種向量范數(shù)。為給出其

6、他的向量范數(shù)，先 x ¥n C證明如下結(jié)論.引理 引理 2.1 對任意實數(shù) ，都有 ，其中 0 0 a b ³ ³ 和p qp qa b ab £ +1 1 1 q 1 1 p q p > > + = ，，且證 若 ，顯然結(jié)論成立，下面就只就 來討 0 ab = 0 0 a b > > 和論，考慮函數(shù)( )p q t t t p q j-= + (0 ) t <