二項式定理知識點和各種題型歸納帶答案

1、名師總結(jié) 優(yōu)秀知識點二項式定理1．二項式定理：， 0 1 1 ( ) ( ) n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2．基本概念：①二項式展開式：右邊的多項式叫做 的二項展開式。 ( )n a b ?②二項式系數(shù):展開式中各項的系數(shù) . r n C ( 0,1,2, , ) r n ? ???③項數(shù)：共 項，是

2、關(guān)于 與 的齊次多項式 ( 1) r ? a b④通項：展開式中的第 項 叫做二項式展開式的通項。用 表示。 1 r ? r n r rn C a b ?1r n r rr n T C a b ?? ?3．注意關(guān)鍵點：①項數(shù)：展開式中總共有 項。 ( 1) n ?②順序：注意正確選擇 , ,其順序不能更改。 與 是不同的。 a b ( )n a b ? ( )n b a ?③指數(shù)： 的指數(shù)從 逐項減到 ，是降冪排列。 的指數(shù)從 逐項減到

3、 ，是升冪排列。各項的 a n 0 b 0 n次數(shù)和等于 . n④系數(shù)：注意正確區(qū)分二項式系數(shù)與項的系數(shù)，二項式系數(shù)依次是 項的 0 1 2 , , , , , , . r nn n n n n C C C C C ??? ???系數(shù)是 與 的系數(shù)（包括二項式系數(shù)） 。 a b4．常用的結(jié)論：令1, , a b x ? ? 0 1 2 2 (1 ) ( ) n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n

4、 N ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?令1, , a b x ? ? ? 0 1 2 2 (1 ) ( 1) ( ) n r r n n nn n n n n x C C x C x C x C x n N ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?5．性質(zhì)：①二項式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即 ，··· 0 nn n C C ?1 k kn n C C

5、? ?②二項式系數(shù)和：令 ,則二項式系數(shù)的和為 ， 1 a b ? ? 0 1 2 2 r n nn n n n n C C C C C ? ? ? ? ? ? ? ? ?變形式 。 1 2 2 1 r n nn n n n C C C C ? ? ? ? ? ? ? ? ?③奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和：在二項式定理中，令 ，則 ， 1, 1 a b ? ? ? 0 1 2 3 ( 1) (1 1) 0 n n nn n

6、 n n n C C C C C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?從而得到： 0 2 4 2 1 3 2 1 1 1 2 2 2r r n nn n n n n n n C C C C C C C ? ? ? ? ???? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?④奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和：名師總結(jié) 優(yōu)秀知識點例：在二項式 的展開式中倒數(shù)第 項的系數(shù)為 ，求含有 的項的系數(shù)？ 3 2 4 1 ( )n x

7、 x ? 3 45 3 x解：由條件知 ，即 ， ，解得 ，由 2 45 n n C ? ? 2 45 n C ? 2 90 0 n n ? ? ? ? 9( ) 10 n n ? ? ? 舍去或，由題意 ，2 10 2 110 3 4 3 41 10 10 ( ) ( )r r r r r rr T C x x C x? ? ? ? ?? ? ? 10 2 3, 6 4 3r r r ? ? ? ? ? 解得則含有 的項是第 項 ,系

8、數(shù)為 。 3 x 7 6 3 36 1 10 210 T C x x ? ? ? 210練：求 展開式中 的系數(shù)？ 2 9 1 ( ) 2 x x ? 9 x解： ，令 ,則 2 9 18 2 18 31 9 9 91 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2r r r r r r r r r rr T C x C x x C x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 18 3 9 r ? ? 3 r ?故 的系數(shù)為 。

9、 9 x 3 391 21 ( ) 2 2 C ? ? ?題型三：利用通項公式求常數(shù)項；例：求二項式 的展開式中的常數(shù)項？ 2 10 1 ( )2xx?解： ，令 ，得 ，所以5 20 2 10 21 10 101 1 ( ) ( ) ( ) 2 2r r r r r rr T C x C xx? ?? ? ? 5 20 0 2 r ? ? 8 r ?8 89 101 45 ( ) 2 256T C ? ?練：求二項式 的展開式中的常數(shù)

10、項？ 6 1 (2 ) 2 x x ?解： ，令 ，得 ，所以 6 6 6 21 6 61 1 (2 ) ( 1) ( ) ( 1) 2 ( ) 2 2r r r r r r r r rr T C x C x x? ? ?? ? ? ? ? 6 2 0 r ? ? 3 r ?3 34 6 ( 1) 20 T C ? ? ? ?練：若 的二項展開式中第 項為常數(shù)項，則 2 1 ( )n x x ? 5 ____. n ?解： ，令 ，得

11、. 4 2 4 4 4 2 1251 ( ) ( ) n nn n T C x C x x? ? ? ? 2 12 0 n ? ? 6 n ?題型四：利用通項公式，再討論而確定有理數(shù)項；例：求二項式 展開式中的有理項？ 9 3 ( ) x x ?解： ，令 ,( )得 ，1 27 19 3 6 21 9 9 ( ) ( ) ( 1)rr r r r rr T C x x C x??? ? ? ? ? 276r Z ? ? 0 9 r ?